Faktorisering
Posted: 03/06-2009 22:12
Faktorisér følgende uttrykk:
[tex]x^{10}+x^5+1[/tex]
[tex]x^{10}+x^5+1[/tex]
Page 1 of 1
Posted: 03/06-2009 23:34
[tex]=x^{10}+x^5+1+x^5-x^5=x^{10}+2x^5+1-x^5=(x^5+1)^2-x^5=(x^5+\sqrt{x^5}+1)(x^5-\sqrt{x^5}+1)[/tex]
Posted: 04/06-2009 01:39
Løsningene til [tex]y^2+y+1=0[/tex] er [tex]y=e^{\pm i \frac{2 \pi}{3}}[/tex]
Løsningene til [tex]x^{10}+x^5+1=0[/tex] er da [tex]x=e^{\pm i \frac{2 \pi n}{15}}, [/tex][tex]1\leq n \leq 5[/tex].
[tex]x^{10}+x^5+1[/tex] kan da faktoriseres til [tex]\prod^5_{n=1}(x-e^{i \frac{2 \pi n}{15}})(x-e^{- i \frac{2 \pi n}{15}})=\prod^5_{n=1}(x^2-\cos(\frac{2\pi n}{15})x+1)[/tex].
Koeffisientene kan bli funnet på tallform, men det er ikke særlig pent.
Løsningene til [tex]x^{10}+x^5+1=0[/tex] er da [tex]x=e^{\pm i \frac{2 \pi n}{15}}, [/tex][tex]1\leq n \leq 5[/tex].
[tex]x^{10}+x^5+1[/tex] kan da faktoriseres til [tex]\prod^5_{n=1}(x-e^{i \frac{2 \pi n}{15}})(x-e^{- i \frac{2 \pi n}{15}})=\prod^5_{n=1}(x^2-\cos(\frac{2\pi n}{15})x+1)[/tex].
Koeffisientene kan bli funnet på tallform, men det er ikke særlig pent.
Posted: 04/06-2009 13:13
Misforstod jeg oppgaven? 
Posted: 04/06-2009 13:41
Vel, meningen var å faktorisere i polynomer over [tex]\mathbb{R}[/tex]. Her ser jeg at Charlatan har faktorisert videre over [tex]\mathbb{C}[/tex].thmo wrote:Misforstod jeg oppgaven?
Hint: Uttrykket kan faktoriseres i ett 2.grads- og ett 5. gradspolynom over [tex]\mathbb{R}[/tex]. Ifølge fasiten er det en elegant måte å finne disse på.
Posted: 04/06-2009 15:09
Faktoriseringen er da vel i [tex]\mathbb{R}[/tex].
Uansett, hvis du vil ha koeffisientene i [tex]\mathbb{Z}[/tex] kan vi gjøre følgende: Vi ser klart at [tex]x^{10}+x^5+1[/tex] er delelig på [tex]x^2+x+1[/tex], og etter polynomdivisjon får vi at [tex]x^{10}+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)[/tex] Begge faktorene er irredusible i [tex]\mathbb{Z}[/tex].
Uansett, hvis du vil ha koeffisientene i [tex]\mathbb{Z}[/tex] kan vi gjøre følgende: Vi ser klart at [tex]x^{10}+x^5+1[/tex] er delelig på [tex]x^2+x+1[/tex], og etter polynomdivisjon får vi at [tex]x^{10}+x^5+1=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)[/tex] Begge faktorene er irredusible i [tex]\mathbb{Z}[/tex].
Posted: 05/06-2009 14:10
Ja, du har rett. Mente at faktorisering skulle være i polynomer over [tex]\mathbb{Z}[/tex].Charlatan wrote:Faktoriseringen er da vel i [tex]\mathbb{R}[/tex].