matematikk.net

Sannsynlighet er en rar ting..

La meg være deltaker i et pengespill, og jeg har tatt meg frem til finalen. Der blir jeg presentert tre ulike luker, hvor det bakom disse skjuler seg en banan, tre appelsiner og 1 million kr. Jeg blir bedt om å velge en luke, og gjør det! Før denne åpnes, tar programleder og åpner en annen luke enn den hvor hovedgevinsten (1.million kroner) ligger. (Kan være bananen, eller apelsinene som ligger bak den åpnede luken..) Så spør programleder meg om jeg nå vil bytte luke fra den jeg opprinnelig valgte?? Bør jeg skifte? Hvorfor bør jeg i så fall gjøre det?

Håper på et kløktig svar, da jeg ikke lenger er sikker...
Mener at jeg bør skifte...

Hei!
Fint at oppgaver kommer ut på nett slik at mange kan få gleden av dem. Du sier ganske riktig at dette er en gammel klassiker, det er det og den har skapt mye bry for mange.

Svaret er at du bør bytte dør.

Årsaken er denne: Når du velger er det 1/3 mulighet for at du treffer. Alt er vel og bra.

Så endrer situasjonen seg, du finner ut at en av de andre dørene ikke har førstepremien. Ved å velge den andre døren øker du, på grunnlag av den nye infoen muligheten fra 1/3 til 2/3 mulighet for å vinne.

Dersom du bytter er det ikke sikkert du vinner, men du øker muligheten fra 1/3 til 2/3 sjanse.

Vanskelig å forstå? Tenk deg muligheten med 4 dører, eller 1000 dører...

MVH
Kenneth Marthinsen

Det er sikkert flere som har kommentarer til denne, det er også en del stoff på nett, så kom igjen

Hmmm.. tja?? Hvorfor er ikke sjansen da 50/50? Man har jo kun 2 muligheter? Noen?

Dersom du kun hadde to dører å velge i ville muligheten vært 1/2, men når du tar den nye situasjonen i betraktning er muligheten 2/3

Hva ville du gjøre om det var 1000 dører å velge i, du valgte 1 og 998 ble åpnet uten å vise førstepremien, ville du bytte. Jeg er enig i at det ville være 50/50 dersom du ikke viste om de 998 dørene som ikke gir premie, men nå gjør du det...

KM

Jo jeg er nok litt enig der... Vet noen om om flere nettsteder som begrunner dette "problemet"? Har en "meget skeptisk" kompis som ikke klarer å godta dette helt..

Jeg har sett problemet på flere engelske og amerikanske sider, med jeg husker ikke adressen...

Det spiller imidlertid liten rolle, det du har fått servert over er en teoretisk betraktning. Dersom din kompis ikke stoler på den hjelper neppe enda flere teoretiske forslag.

Jeg har et forslag Prøv selv med din kompis

Utfør 100 forsøk der han ikke bytter og noter resultatet av vinn.
Utfør så 100 der han bytter og noter det samme. Jeg tror han blir overbevist.
Du trenger jo ikke ha millionen for å utføre forsøket
Publiser gjerne resultatene her.
Lykke til!
KM

Først velger du en dør:

Det er 1/3 sjanse for at du treffer millionen
Det er 2/3 sjanse for ar du treffer frukt

1. Du har truffet frukt og programlederen åpner endå en med frukt. Du bytter dør og får en million

2. Du har truffet millionen og programlederen åpner endå en med frukt.
Du bytter og får frukt

Det er 2/3 sjanse for ar du treffer frukt på første forsøk, altså 2/3 sjanse for å få millionen til slutt (viss du bytter)

Det er 1/3 sjanse for at du treffer millionen på første forsøk, altså 1/3 sjanse for¨å få frukt til slutt (viss du bytter)

Du bør altså bytte dør!

Håper dette var oversiktelig

Som jeg har sagt i et tidligere innlegg, så har jeg ingen problemer med å se den matematiske grunnen til at jeg bør bytte dør, men den "fornuftige" grunner makter jeg ikke å se. Når man i utgangspunktet har 3 dører, og disse blir redusert til 2, hvorfor kan man da ikke "starte på nytt", og vurdere problemet som om den tredje døren aldri var der i det hele tatt??

sletvik wrote:Som jeg har sagt i et tidligere innlegg, så har jeg ingen problemer med å se den matematiske grunnen til at jeg bør bytte dør, men den "fornuftige" grunner makter jeg ikke å se. Når man i utgangspunktet har 3 dører, og disse blir redusert til 2, hvorfor kan man da ikke "starte på nytt", og vurdere problemet som om den tredje døren aldri var der i det hele tatt??

Det burde vel ikke være noen forskjell på matematikk og fornuft her?

Men uansett, dette problemet har mange betraktningsmåter og her er et poeng som er viktig å få med seg:

Når det første valget gjøres er det selvfølglig 1/3 sjanse for at man gjetter riktig. Og når så programleder åpner en tom luke SÅ ENDRES IKKE SANSYNLIGHETEN FOR AT DEN FØRSTE LUKA SOM BLE VALGT VAR RIKTIG. Hvorfor ikke? Jo, fordi programleder vil UANSETT ha mulighet til å åpne en tom luke, og hvilken av de to andre lukene som viser seg å være tom har selvfølgelig ingenting å si siden disse er ekvivalente. Dermed må den resterende 2/3 av den totale sansynligheten tilfalle den tredje fortsatt uåpnede luka!

spørsmålet du stiller er litt i samme gate som: "Ettersom et kast med to mynter bare har tre muligheter: to kron, to mynt eller en av hver - hvorfor er da ikke sansynligheten for å få en av hver lik en tredjedel?"

I spørsmålet over er det selvfølgelig lett å se hva som er feil, mens i lukeproblemet krever det en del mer....

Jeg kan jo slenge inn min betraktningsmåte her. Dette poenget er allerede kommet fram, men det kan jo hende noen vil ha nytte av en annen framstilling

Tenk deg at det er 100 luker, og millionen befinner seg bak en av dem. Det som skjer er at du velger en luke, som du ikke får noe informasjon om. Nå åpner programlederen 98 av de andre lukene. Den informasjonen du får nå er at dersom millionen befinner seg i en av de 99 lukene du ikke valgte (noe som er 99% sannsynlig), så er den i den luka han ikke åpnet.

Du sitter altså med den luka du først valgte (1% vinnersjanse),
og den luka programlederen ikke åpnet (99% vinnersjanse). Valget er ikke lengre så vanskelig

Ved tre luker er vinnersjansene som tidligere nevnt 2/3 ved å bytte luke. Det som er artig er at dette faktisk har vært et virkelig tv-program, og at en kvinnelig spaltist i et blad avslørte at det lønte seg å bytte luke. Hun fikk da endel brev fra profesjonelle matematikere som hevdet at hun tok feil, helt til hun skrev opp et bevis i spalten sin . (Det hun gjorde var så enkelt som å skrive opp alle muligheter, og telle)

Ser at flere bruker 1000 luker som eksempel, men jeg føler ikke at det hjelper. Sett at jeg velger luke nr.1. Luke nr.2 til 999 åpnes uten å vise noen premie. Altså er premien i luke 1 eller 1000. Det er da ikke mer sannsynlig at den befinner seg i luke 1000 enn i luke 1 er det det da?? Det hele koker jo ned til 2 likeverdige luker til slutt uansett.

sletvik wrote:Det hele koker jo ned til 2 likeverdige luker til slutt uansett.

Lukene er ikke likeverdige, den ene luka "overtar" sannsynligheten til de 998 som blir åpnet, hvis du skjønner hva jeg mener.

I ett av tusen tilfeller vil du tape på å bytte, fordi i ett av tusen tilfeller er premien bak den første luka du har valgt.

I ALLE de andre 999 tilfellene vinner du ved å bytte, rett og slett fordi hvis premien ikke er i den du har valgt, må den være i den siste gjenværende luka som programlederen ikke har åpnet!

Det du egentlig har å velge i mellom er dette:
1. En luke (du lar være å bytte)
2. 999 luker, hvor programlederen hjelper deg å finne premien hvis den befinner seg blant disse (dette er det du får ved å bytte)

Hvis det ennå ikke er klart, er det bare å sette opp et skjema med f.eks. 3 luker og telle:

Tilfelle 1: Premien er bak luke 1
Tilfelle 2: Premien er bak luke 2
Tilfelle 3: Premien er bak luke 3

For hvert av tilfellene har du tre muligheter:
a) Du velger luke 1
b) Du velger luke 2
c) Du velger luke 3

Så er det bare å skrive opp hva som skjer hvis du bytter hver gang, og telle opp. Du vil finne at du vinner i 2/3 av tilfellene.


Hvis det etter dette ikke er klart, er det ikke håp

^ThomasB er morsomt

Det er 3 dører Si at du velger dør "B" Da er sjansen 1/3.
Siden program lederen vet hvilken dør som er hva...
Åpne han en som ikke er noe... Si at det er dør "A"

Som discher sa blir dør C da 2/3 sjanser. Siden dør B er 1/3
Program lederen vil alltid ta en som er feil ( Hvis ikke da er det ikke en show...)

hadde jo vært litt show hvis programlederen glemte seg og tok den som ikke var feil også....

Men uansett, som du sier:

sannynligheten for at dør "B" er riktig er 1/3 gjennom hele konkurransen.

Det er egentlig hele nøkkelen til oppgaven.