matematikk.net

Her er eksamen, for de som er interessert.

DEL 1

Oppgave 1

a) Deriver funksjonen [tex]f(x)=2(ln(x)+1)^3[/tex]

b) Gitt funksjonen [tex]f(x)=x\cdot cos(x)[/tex]

1) Ligger grafen over eller under x-aksen når [tex]x=\pi[/tex]

2) Stiger eller synker grafen når [tex]x=\pi[/tex]

(Du kan få bruk for at [tex]\sin \pi=0[/tex] og [tex] \cos \pi=-1[/tex]

c) Bestem summen av den uendelige rekken [tex]2+\frac {2}{3}+\frac {2}{9}+\frac {2}{27}+...[/tex]


d) Gitt punktene [tex]A(2,3,7), B(3,5,2), C(1,1,5) og D(3,5,t)[/tex]

1) Bestem en verdi for t slik at [tex]\vec {AB}\perp \vec {AD}[/tex]

2) Undersøk om det finnes en verdi for t slik at [tex]\vec {AB}|| \vec {CD}[/tex]

e) Løs differensiallikningen [tex]y\prime+4x\cdot y=0[/tex], der [tex]y(0)=5[/tex]

f) Bestem integralene

1) [tex]\int x\cdot sin(2x)dx[/tex]

2) [tex]\int \frac {4}{x^2-4}dx[/tex]

Oppgave 2

Vi har gitt punktene [tex]A(1,0,0),B(0,2,2),C(1,1,2) og D(4,1,-3)[/tex]

a) Finn [tex]\vec {AB} \times \vec {AC}[/tex]. Vis at arelaet av trekanten ABC er lik [tex]\frac {3}{2}[/tex]

b) Bestem volumet av pyramiden ABCD

c) Finn likningen for planet [tex]\alpha[/tex] som går igjennom punktene A, B og C.

DEL 2

Oppgave 3

I denne oppgaven skal vi lage en modell for temperaturen i vannet i et badekar. Badekaret er fylt med vann som til å begynne med har temperaturen [tex]38^{\circ}C[/tex]. Romtemperaturen er konstant lik [tex]21^{\circ}C[/tex].

Vi lar [tex]y(t)[/tex] være vannet temperatur i grader celsius etter t timer.

a) Forklar hva [tex]y\prime (t)[/tex] forteller oss, og hvorfor [tex]y\prime (t)[/tex] er negativ i denne oppgaven.

Vi antar at temperaturendringen per time er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen [tex]y(t)[/tex] og romtemperaturen. Proporsjonalitetskonstanten er k.

b) Forklar at den differensiallikningen som beskriver denne problemstillingen er

[tex]y\prime=k(y-21)[/tex]

c) Forklar hvorfor y(0)=38. Løs differensialikningen ved regning.

d) Etter 3 timer er vanntemperaturen [tex]27^{\circ}C[/tex]. Bruk dette til å bestemme k.

e) Bestem [tex] \lim_{t \to \infty}y(t)[/tex]. Kommenter svaret.

Oppgave 4

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x)=2\cdot (sin(x))^2[/tex]

a) Tegn grafen til f når[tex] x \in [0,2\pi \rangle[/tex].

b) Grafen er en sinuskurve. Bruk grafen til å vise at vi tilnærmet kan lese av at f kan skrives på formen

[tex]f(x)=sin(2x-\frac {\pi}{2})+1[/tex]

c) Bruk formelen for sin(u-v) til å vise at utrykket i b) stemmer med [tex]f(x)=2\cdot (sin(x))^2[/tex].

d) Bestem ved regning koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til f når [tex]x\in \langle 3\pi,4\pi \rangle[/tex].

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

Gitt funksjonen [tex]f(x)=4\cdot e^{-0,2x}\cdot (4\sin (2x)+3\cos (2x))[/tex] når [tex]x\in \langle 0,5\pi \rangle[/tex]

a) Skisser, eller ta en utskrift av grafen til f.

b) Finn nullpunktene, topp-, bunn- og vendepunktene på grafen til f når [tex]x \in \langle 0,\pi \rangle[/tex]

Funksjonsutrykket f kan skrives på formen [tex]f(x)=K\cdot e^{-0.2x}\cdot sin(2x+\phi)[/tex]

c) Finn konstantene K og [tex]\phi[/tex].

d) y=f(x), der f(x) er funksjonen ovenfor, er en løsningen av differensiallikningen:

[tex]y\prime \prime +ay\prime +by=0[/tex]

Bestem konstantene a og b.

Oppgave 5

Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekantfigur. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene.

(Gadd ikkje å tegne de)

a) Skriv opp de fem første trekanttallene [tex]a_1,a_2,a_3,a_4[/tex] og [tex]a_5[/tex] og de fem første summene [tex]S_1,S_2,S_3,S_4[/tex] og [tex]S_5[/tex]

b) Forklar at [tex]a_n=1+2+3+...+n[/tex]. Bruk dette til å vise at [tex]a_n=\frac {n(n+1)}{2}[/tex]

c) Bruk regresjon på de fem første summene [tex]S_1,S_2,S_3,S_4[/tex] og [tex]S_5[/tex] til å finne et tredjegradsutrykk for [tex]S_n[/tex]. Vis at tredjegradsutrykket er til tilnærming av

[tex]S_n=\frac {n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]

Resultatet ovenfor gjelder i prinsippet bare for de 5 første summene [tex]S_1,S_2,S_3,S_4[/tex] og [tex]S_5[/tex]. Vi ønsker å undersøke om formelen gjelder for alle n-verdier. Da må vi gjennomføre et matematisk bevis.

d) Bruk induksjon til å bevise at formelen [tex]S_n=\frac {n(n+1)(n+2)}{6}[/tex] er riktig.

Her er den i .pdf-format:

Trykk her

Det gikk i hvertfall bra med meg. Har regnet over det aller meste på den, og har kommet fram til at jeg nesten helt sikkert har rett på alt, utenom oppg. 1 a) (her tolket jeg ln(x+1), som skulle være ln(x) + 1), men har riktig fremgangsmåte), og oppg 4 (alt. 1) c). Denne ser jeg har nå at ikke er så vanskelig, men jeg klarte den ikke på eksamen i hvertfall.

Så tror jeg kan få seks, men den var jo faktisk overraskende lett i forhold til prøveeksamener og tentanen vi hadde i hvertfall.

Skal ta R2 til høsten nå, og jeg synes alltid det er morsomt å regne på eksamener på forhånd, slik at jeg vet hva jeg kan vente meg. Takker.

Har begynt å utarbeide et løsningsforslag:

DEL 1

Oppgave 1

a)

[tex]f\prime (x)=2\cdot 3(ln(x)+1)^2\cdot (ln(x)+1)\prime[/tex]

[tex]f\prime (x)=6(ln(x)+1)^2\cdot \frac {1}{x}[/tex]

[tex]f\prime (x)=\frac {6(ln(x)+1)^2}{x}[/tex]


b)

1) [tex]f(\pi)=\pi\cdot cos(\pi)=-\pi[/tex] Ettersom fortegnet er negativt, ligger grafen under x-aksen.

2)

[tex]f\prime(x)=(x)\prime \cdot cos(x)+x\cdot (cos(x))\prime[/tex]

[tex]f\prime(x)=cos(x)-x\cdot sin(x)[/tex]

[tex]f\prime(\pi)=cos(\pi)-\pi\cdot sin(\pi)=-1[/tex] Ettersom fortegnet er negativt synker grafen.

c)

[tex]\frac {a_2}{a_1}=\frac {a_3}{a_2}=\frac {a_4}{a_3}=k=\frac {1}{3}[/tex]

Rekken konvergerer siden k er mellom -1 og 1.

[tex]S=\frac {a_1}{1-k}=\frac {2}{\frac {2}{3}}=3[/tex]

d)

1)

[tex]\vec {AB}=[1,2,-5][/tex] og [tex]\vec {AD}=[1,2,t-7][/tex]

[tex]\vec {AB}\perp \vec {AD} \Rightarrow \vec {AB}\cdot \vec {AD}=0[/tex]

[tex][1,2,-5]\cdot[1,2,t-7]=0 \Rightarrow 1+4-5t+35=0[/tex]

[tex]5t=40 \Rightarrow t=8[/tex]

2)

[tex]\vec {AB}=[1,2,-5] \ \ \vec {CD}=[2,4,t-5][/tex]

[tex]\vec {AB}||\vec {CD} \Rightarrow \vec {CD} =s\cdot \vec {AB}[/tex]

[tex][2,4,t-5]=[s,2s,-5s][/tex]

[tex]2=s \ \wedge 4=2s \ \wedge \ t-5=-5s[/tex]

[tex]s=2 \ \wedge s=2 \ \wedge \ t-5=-5s[/tex]

[tex]t-5=-5\cdot 2\Rightarrow t=-5[/tex]

e)

[tex]y\prime+4x\cdot y=0[/tex]

[tex]y\prime=-4x\cdot y[/tex]<-- Deler på y

[tex]\int \frac {1}{y}dy=\int -4x \ dx[/tex]

[tex]ln|y|=-2x^2+C[/tex]

[tex]y=e^{-2x^2+C}[/tex]

[tex]y=C\cdot e^{-2x^2}[/tex]

[tex]y(0)=5 \Rightarrow C=5[/tex]

[tex]y=5\cdot e^{-2x^2}[/tex]

f)

1)

[tex]\int x\cdot sin(2x)dx[/tex]

[tex]u=x \ \ u\prime=1 \ \ v\prime=sin(2x) \ \ v=- \frac {cos(2x)}{2}[/tex]

[tex]\frac {-x \cdot cos(2x)}{2}+\int \frac {cos(2x)}{2}dx[/tex]

[tex]\frac {-x \cdot cos(2x)}{2}+\frac {sin(2x)}{4}+C[/tex]

2)

[tex]\int \frac {4}{x^2-4} \ dx[/tex]

Standard delbrøkoppspalting, hvor [tex]\frac {4}{x^2-4}\Rightarrow \frac {1}{x-2}-\frac {1}{x+2}[/tex]

[tex]\int \frac {1}{x-2}-\frac {1}{x+2} \ dx = ln|x-2|-ln|x+2|+C \Rightarrow ln \frac {|x-2|}{|x+2|}+C[/tex]

Oppgave 2

a) [tex]\vec {AB}=[-1,2,2] \ \ \vec{AC}=[0,1,2][/tex]

[tex]\vec {AB} \times \vec{AC}= \left[\begin{matrix}e_1 \ e_2 \ e_3 \\ -1 \ 2 \ 2 \\ 0 \ 1 \ 2 \end{matrix}\right]=[2,2,-1][/tex]

[tex]\Delta_{ABC}=\frac {1}{2}\cdot \sqrt {2^2+2^2+(-1)^2}=\frac {3}{2}[/tex] Q.E.D

b) [tex]\vec {AD}=[3,1,-3][/tex]

Det er viktig å merke seg at dette blir en pyramide med en trekant som grunnflate, altså et tetraede (usikker på hvordan det skrives)

[tex]V=|\frac {1}{6}(\vec {AB} \times \vec{AC})\cdot \vec {AD}|[/tex]

[tex]V=|\frac {1}{6}[2,2,-1]\cdot [3,1,-3]|[/tex]

[tex]V=|\frac {1}{6} \cdot( 6+2+3)| \Rightarrow \frac {11}{6}[/tex]

c) [tex]n_{\alpha}=(\vec {AB} \times \vec{AC})=[2,2,-1][/tex]

[tex]\alpha[/tex] går igjennom punktet A, så likningen for planet:

[tex]\alpha : \ 2(x-1)+2(y-0)-1(z-0)=0[/tex]

[tex]\alpha : \ 2x+2y-z-2=0[/tex]

Del 2 kommer senere!

Ser bra ut det der. Alle svarene er like med mine, bortsett fra den feiltolkningen min på 1 a).

Oppgave 3


a) [tex]y\prime (t)[/tex] forteller oss hvor mye temperaturen i vannet er i ferd med å synke etter t timer, derav fortegnet, siden den synker.

b) Denne oppgaven synes jeg var latterlig, siden alt stod forklart i oppgaveteksten.

c) y(0)=38. Fordi det var temperaturen vannet hadde ved utgangspunktet.

[tex]y\prime=k(y-21)[/tex]

[tex]\int \frac {1}{y-21} \ dy=\int k \ dt[/tex]

[tex]ln|y-21|=kt+C[/tex]

[tex]y=C\cdot e^{kt}+21[/tex]

[tex]y(0)=C+21=38 \Rightarrow C=17[/tex]

[tex]y=17\cdot e^{kt}+21[/tex]

d)[tex]y(3)=17\cdot e^{k3}+21=27[/tex]

[tex]e^{k3}=\frac {6}{17}[/tex]

[tex]k=\frac {ln \ 6 - ln \ 17}{3}=-0.347[/tex]

[tex]y(t)=17 \cdot e^{-0.347t}+21[/tex]

e) [tex] \lim_{t \to \infty}y(t)=21[/tex]. Temperaturen går mot romtemperaturen når [tex]t \to \infty[/tex]

Oppgave 4

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x)=2\cdot (sin(x))^2[/tex]

a)

Nå var ikke denne kun innenfor det gitte intervallet men gadd ikke å stresse.

b) Vi "gjenkjenner" [tex]A=1 \ P=\pi \ d=1 \ c=\frac {\pi}{4}[/tex]
Da blir [tex]k=\frac {2\pi}{\pi}=2[/tex]

[tex]f(x)=Asin(k(x-c))+d[/tex]

[tex]f(x)1sin(2(x-\frac {\pi}{4}))+1[/tex]

[tex]f(x)=sin(2x-\frac {\pi}{2})+1[/tex]

c) [tex]f(x)=sin(2x-\frac {\pi}{2})+1[/tex]

[tex](sin(2x)\cdot cos(\frac {\pi}{2})-cos(2x)\cdot sin(\frac {\pi}{2}))+1[/tex]

[tex]-cos(2x)+1[/tex]

[tex]-(cos^2(x)-sin^2(x))+1[/tex]

[tex]-(1-sin^2(x)-sin^2(x))+1=2\cdot (sin(x))^2[/tex]

d) Bestem ved regning koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til f når [tex]x\in \langle 3\pi,4\pi \rangle[/tex]

[tex]f\prime (x)=4 \cdot sin(x) \cdot cos(x)=2\cdot sin(2x) [/tex]

[tex]2sin(2x)=0[/tex]

[tex]2x=0+n\cdot 2\pi \ \ \vee \ \ 2x=\pi+n\cdot 2 \pi[/tex]

[tex]x=0+n\cdot \pi \ \ \vee \ \ x=\frac {\pi}{2}+n\cdot \pi[/tex]

Den eneste løsningen innenfor dette gitte intervallet er da [tex]x=\frac {7\pi}{2}[/tex]

Ved hjelp av fortegnslinjer viser du at dette er at toppunkt, som har koordinatene [tex]\left (\frac {7\pi}{2},2 \right)[/tex]

[tex]f\prime \prime (x)=4\cdot cos(2x)[/tex]

[tex]4\cdot cos(2x)=0[/tex]

[tex]2x=\frac {\pi}{2}+n\cdot 2\pi \ \ \vee \ \ 2x=-\frac {\pi}{2}+n\cdot 2\pi[/tex]

[tex]x=\frac {\pi}{4}+n\cdot \pi \ \ \vee \ \ x=-\frac {\pi}{4}+n\cdot \pi[/tex]

De eneste løsningene innenfor dette intervallet er da [tex]x=\frac {13\pi}{4}[/tex] og [tex]x=\frac {15\pi}{4}[/tex].

Grafen har vendepunkt i [tex]\left (\frac {13\pi}{4},1 \right)[/tex] og i [tex]\left (\frac {15\pi}{4},1 \right)[/tex] (Dette må vises med fortegnslinjer).

Alternativ II <- Denne kan noen andre ta seg bryet med å løse

Oppgave 5


a) [tex]a_1=1 \ \ a_2=3 \ \ a_3=6 \ \ a_4=10 [/tex] og [tex]a_5=15[/tex] og de fem første summene er [tex]S_1=1 \ \ S_2=4 \ \ S_3=10 \ \ S_4=20[/tex] og [tex]S_5=35[/tex]

b) Trekanttallene blir en aritmetisk rekke med [tex]a_1=1[/tex] og [tex]d=1[/tex] Neste trekanttall i rekken blir summen av de forrige leddene i rekken. Bruker formelen for summen av en aritmetisk rekke da blir [tex]a_n=\frac {n(a_1+a_n)}{2} \Rightarrow a_n=\frac {n(n+1)}{2}[/tex]

c) Med regresjon får vi utrykket:

[tex]S_n=0.167x^3+0.5x+0.333x[/tex]

[tex]\frac {1}{0.167} \approx 6[/tex]

[tex]S_n=0.167x^3+0.5x+0.333x \cdot \frac {6}{6} \approx \frac {n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]

d) Bruk induksjon til å bevise at formelen [tex]S_n=\frac {n(n+1)(n+2)}{6}[/tex] er riktig.

Vi har rekken: [tex]1+3+6+10+15+...+A_n=S_n[/tex]

Sjekker om formelen stemmer for n=1.

[tex]S_1=1[/tex]

[tex]S_1=\frac {1(1+1)(1+2)}{6}=1[/tex]

Venstre side = Høyre side, formelen stemmer da for n=1.

Antar at formelen er rett for n=k

[tex]1+3+6+10+15+...+a_k=S_k[/tex]

Formelen må da være rett for n=k+1.

[tex]1+3+6+10+15+...+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}[/tex]

[tex]1+3+6+10+15+...+\frac {k(k+1)}{2}+\frac {(k+1)(k+2)}{2}=\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{6}[/tex]

[tex]11+3+6+10+15+...+a_k[/tex] Definerte jo vi som [tex]S_k[/tex] tidligere, så hvis [tex]S_k+a_{k+1}=S_{k+1}[/tex]. Stemmer formelen for alle heltallige verdier av n, som er slik at [tex]n\geq 1[/tex]

[tex]\frac {k(k+1)(k+2)}{6}+\frac {(k+1)(k+2)}{2}[/tex]

[tex]\frac {k(k+1)(k+2)}{6}+\frac {(k+1)(k+2)}{2}\cdot \frac {3}{3}[/tex]

[tex]\frac {k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{6}[/tex]

Etter å ha bearbeidet denne litt, ender du opp med

[tex]\frac {(k+1)(k+2)(k+3)}{6}[/tex] Q.E.D

Oppgave 4 er en del lettere å løse ved å bare sette sinusuttrykket lik -1 for bunnpunkt, 0 for vendepunkt og 1 for toppunkt. Det gjorde jeg i hvertfall, og kom fram til de samme svarene som deg, og bekreftet med lommeregner på eksamen.

Det er mange veier til rom :p

Hehe, sant det.

Andreas345 wrote: e)

[tex]y\prime+4x\cdot y=0[/tex]

[tex]y\prime=-4x\cdot y[/tex]<-- Deler på y

[tex]\int \frac {1}{y}dy=\int -4x \ dx[/tex]

[tex]ln|y|=-2x^2+C[/tex]

[tex]y=e^{-2x^2+C}[/tex]

[tex]y=C\cdot e^{-2x^2}[/tex]

[tex]y(0)=5 \Rightarrow C=5[/tex]

[tex]y=5\cdot e^{-2x^2}[/tex]

Du gjorde da denne vanskeligere enn nødvendig? Så langt jeg kan se blir det riktig å multiplisere med den integrerende faktoren [tex]e^{\int 4x dx}[/tex][tex]=e^{2x^2}[/tex]. Får noen feil, ja.. Noen som vil regne gjennom alternativ 2? Vet ikke om jeg tør å stole på meg selv..

Jeg hadde også satt stor pris på om noen tok seg tid til å se på alternativ 2, da jeg er en av de (få?) som valgte denne oppgaven på eksamen.

Andreas345 wrote:Oppgave 5
b) Trekanttallene blir en aritmetisk rekke med [tex]a_1=1[/tex] og [tex]d=1[/tex] Neste trekanttall i rekken blir summen av de forrige leddene i rekken. Bruker formelen for summen av en aritmetisk rekke da blir [tex]a_n=\frac {n(a_1+a_n)}{2} \Rightarrow a_n=\frac {n(n+1)}{2}[/tex]

Kan noen forklare hvordan d blir 1 her? Jeg skjønner det ikke.

Fordi forskjellen mellom ledd n og n+1 er 1. Trekanttallene skrives slik:
1
1+2=3
1+2+3=6
...

Altså summen av de n første naturlige tallene.

Men rekken er jo 1 3 6 10 15. Hvordan er forskjellen mellom leddene 1?

Du må skille mellom følgen [tex]a_n[/tex] og rekken [tex]S_n[/tex].

[tex]a_n[/tex] er en aritmetisk (følge) progresjon siden [tex]a_{n+1}=a_n+1[/tex], mens rekken følger [tex]S_{n+1}=S_n+n+1[/tex].

En rekke som er en sum av en aritmetisk prograsjon kalles aritmetisk.