matematikk.net

Vi har to sirkler [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] som overlapper hverandre [tex](c_1\cap c_2\neq \emptyset)[/tex].

Sirklene ha sentrum [tex]S_1[/tex] og [tex]S_2[/tex].

Er det mulig å finne radiusene til sirklene om forholdet [tex]\frac{r_1}{r_2}=n[/tex], det overlappende arealet [tex]a[/tex] og avstanden mellom sentrumene [tex]l[/tex] er gitt?

Skulle vel tro det?

Snu det litt på flisa. Hvordan regner man ut overlappende areal [tex]a[/tex] dersom [tex]r1[/tex], [tex]r2[/tex] og avstanden [tex]l[/tex] er oppgitt?

Hvis [tex]r_1[/tex], [tex]r_2[/tex] og [tex]l[/tex] er oppgitt, vet man at det overlappende aralet har "bredde" [tex]r_1+r_2-l[/tex], så da må man finne høyden. Har man høyden [tex]h[/tex] på det overlappende arealet og [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex], blir arealet lettere å finne.

Vi kan da finne vinkene [tex]\theta_1[/tex] og [tex]\theta_2[/tex] for de aktuelle sirkelsektorene.
[tex]\theta_1=2\arcsin\left(\frac{h}{2r_1}\right) \\ \theta_2=2\arcsin\left(\frac{h}{2r_2}\right)[/tex]

Nå tegner vi en rett linje langs høyden til det overlappende arealet og deler det i to deler. Vi finner arealet av de to delene separat og kaller dem [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex].

[tex]a_1=r_1\cdot \theta_1-\frac{h\sqrt{r_1^2-\frac{h^2}{4}}}{2} \\ a_2=r_2\cdot \theta_2-\frac{h\sqrt{r_2^2-\frac{h^2}{4}}}{2} \\ a=a_1+a_2=r_1\cdot \theta_1-\frac{h\sqrt{r_1^2-\frac{h^2}{4}}}{2} + r_2\cdot \theta_2-\frac{h\sqrt{r_2^2-\frac{h^2}{4}}}{2} \\ a=r_1\cdot 2\arcsin\left(\frac{h}{2r_1}\right) - \frac{h\sqrt{r_1^2-\frac{h^2}{4}}}{2} + r_2\cdot 2\arcsin\left(\frac{h}{2r_2}\right) -\frac{h\sqrt{r_2^2-\frac{h^2}{4}}}{2}[/tex]

Så vi må bare finne [tex]h[/tex]. Det blir nok ikke et pent uttrykk.