differensiallikning

[riegsa]

Spørsmål om en første ordens inhomogen differensiallikning:


y' + 1/x y = e[sup]x[/sup][sup]2[/sup] x>0

Jeg skal finne den spesielle løsningen av likningen som tilfredsstiller initialbetingelsen y(1) = e

Har forsøkt meg som følger:

Jeg har da f(x) = 1/x og F(x) = lnx

e[sup]lnx[/sup]y' + e[sup]lnx[/sup]1/x y = e[sup]lnx[/sup]e[sup]x[/sup][sup]2[/sup]

e[sup]x[/sup][sup]2[/sup] = e i x i andre hvis det er tvil..

(e[sup]lnx[/sup]y)' = e[sup]lnx[/sup]e[sup]x[/sup][sup]2[/sup]

e[sup]lnx[/sup]= [symbol:integral] e[sup]lnx[/sup]e[sup]x2[/sup]dx + C

Bruker integrasjon ved substitusjon:

[symbol:integral] xe[sup]x2[/sup]dx =1/2 [symbol:integral] e[sup]x2[/sup]2xdx

= 1/2 [symbol:integral] e[sup]u[/sup]du = 1/2 e[sup]u[/sup] + C

= 1/2 e[sup]x2[/sup] + C

e[sup]lnx[/sup]y = 1/2 e[sup]x2[/sup] + C

y(x) = 1/x (1/2 e[sup]x2[/sup] + C)

Ved y(1) så får jeg 1/2e. Det blir jo feil.. Og er dette den "spesielle" løsningen? Håper på hjelp her!

[Andreas345]

Jeg får også [tex]C=\frac {e}{2}[/tex] Hvis det var det du prøvde å skrive

Så den spesielle løsningen blir

[tex]y(x)=\frac {e^{x^2}+e}{2x}[/tex]

Stemmer det med fasiten?

[riegsa]

Takk for svar! Hmm.. Så jeg skal på en måte finne ut hva C blir ja...

Og da ser jeg at den spesielle løsningen du kom fram til tilfredstiller initialbetingelsen y(1) = e. Har ingen fasit annet enn at det er oppgitt at y(1) = e.

Men da har jeg kanskje et mer elementært spm;

Har y(x) = e[sup]x2[/sup]/2x + C/x , og finner da at C må være e/2 for å få y(1) = e.

Da blir det y(x)= e[sup]x2[/sup]/2x + e/2/x

Hvordan rekner jeg meg fra det og fram til det svaret du kom med? Ikke helt stø på slik rekning...

[Andreas345]

Er ikke verre enn å utvide brøken med 2

[tex]\frac {\frac {e}{2} \cdot 2}{x\cdot 2}[/tex]

[tex]\frac {\frac {e}{\cancel {2}} \cdot \cancel {2}}{x\cdot 2}[/tex]

[tex]\frac {e}{2x}[/tex]

Og du står igjen med [tex]y(x)=\frac {e^{x^2}+e}{2x}[/tex] Når du trekker sammen.

[meCarnival]

Bare for å vise det så kan man og gjøre [tex]\frac{\frac{e}{2}}{x}=\frac{e}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{e}{2x}[/tex]