matematikk.net

Hei, jeg har et lite problem her. Oppgaven går som følger:

Anta at c og d er tall, c [symbol:ikke_lik]1. Leddene i følgen {z[sub]n[/sub]} tilfredsstiller z[sub]n+1[/sub] = cz[sub]n[/sub] + d for n=0,1,2,3,...
Vis at z[sub]n[/sub] = (z[sub]0[/sub] - (d/1-c))c[sup]n[/sup] + (d/1-c)

Klarer ikke helt å få startet på denne, noen som kan komme med noen hint?

Jeg kan begynne oppgaven, så er det noen små observasjoner jeg håper du klarer.

Vi begynner med å regne ut det første leddet.
[tex]z_1 = cz_0 + d[/tex]

Så det andre.
[tex]z_2 = cz_1 + d[/tex]

Setter inn uttrykket vi fant for z_1.

[tex]z_2 \;=\; c(cz_0 + d) + d \;=\; c^2z_0 + cd + d[/tex]

Ser du sammenhengen mellom dette og det n'te leddet du får oppgitt?

Du ser lett at dette stemmer for n=0. Anta så det stemmer for n=k, og vis at dette medfører at det stemmer for n=k+1. Beviset er fullført.

Eventuelt kan du løse denne som en inhomogen differensligning, men det er unødvendig tungvint.

Takk begge to, oppgaven er nå løst.
Tenkte nok først i litt for kompliserte baner og endte opp med noen forferdelige uttrykk. Svaret er ofte enklere enn man tror...