2.ordens inhomogen differensiallikning og differenslikning

[riegsa]

Sliter med en innleveringsoppgave om en andre ordens inhomogen differensiallikning:

y'' - y' + 1/4y = x - 4

Jeg skal finne den generelle løsningen y[sub]h[/sub] til den assosierte homogene diff.likningen og kommer til at dette er y[sub]h[/sub] = Ce[sup]x/2[/sup] + Dxe[sup]x/2[/sup]

Deretter skal jeg finne en spesiell løsning y[sub]s[/sub] som tilfredstiller den inhomogene likningen, og skal skrive opp en generell løsning y = y[sub]h[/sub] + y[sub]s[/sub] av den inhomogene likningen. Dette får jeg altså ikke til...

Har også det samme problemet med en differenslikning som ligner mye: X[sub]n+2[/sub] - X[sub]n+1[/sub] + 1/4X[sub]n[/sub] =n + 4 , hvor jeg finner den generelle løsningen til X[sub]n[/sub][sup]h[/sup] = 1/2C[sup]n[/sup] + 1/2nD, men ikke den spesielle løsningen. Her er det snakk om at det er en reel rot, og at jeg derfor må prøve å gå opp en grad i polynomet. Jeg fikk da X[sub]n[/sub][sup]s[/sup] = 1/4 An[sup]2[/sup] + 4An + 3A, men hadde forventet å fått løst ut A på et enkelt vis...

Og dette skal da skrives som en generell løsning X[sub]n[/sub] = X[sub]n[/sub][sup]h[/sup] + X[sub]n[/sub][sup]s[/sup]

Noen som kan hjelpe??

[meCarnival]

[tex]y_h \Rightarrow r^2-r+\frac{1}{4}=0[/tex] som gir [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex] som du setter inn i [tex]y_h[/tex]

Partikulær løsning (du sier spesiell) så antar man en løsning bare, som IKKE skal være likt av noen av leddene i [tex]y_h[/tex]

Siden det ikke er noen ledd i [tex]G(x)[/tex] som inneholder Eulers tall så kan du kjøre på med [tex]Ax+B[/tex]

[tex]y_p = Ax+B[/tex]
[tex]y_p^, = A[/tex]
[tex]y_p^{,,} = 0[/tex]

og setter dette inn i opprinnelig likning...

[tex]0 - A + \frac{1}{4}(Ax+B)=x-4[/tex]

[riegsa]

Hmm... Det vil si at jeg får 1/4Ax - A + 1/4B = X - 4, videre 1/4A = 1 -> A = 4 og -A + 1/4B = -4, dvs B = 0, slik at 4x er den spesielle løsningen?

Og den generelle løsningen y = y[sub]h[/sub] + y[sub]s[/sub] blir: Ce[sup]x/2[/sup] + Dxe[sup]x/2[/sup] + 4x

Initialbetingsene y(0) = 0 og y(1) = 5

y(1) = 5 får jeg ikke til å stemme da.. Er det helt feil fremgangsmåte?

[Markonan]

Du skal vel tilpasse C og D slik at y(1) = 5.