matematikk.net

Oppgave 16.51
Finn ubestemt integral

[tex]\int_\:(2x+1) \cdot e^{x^2+x}dx[/tex]

Setter:
[tex]v(x)=2x+1 \; \; v^\prime(x)=2[/tex]

[tex]u^\prime(x)=e^{x^2+x} \; \; u(x)=\frac{1}{2x+1} \cdot e^{x^2+x}dx[/tex]

Delvis integrasjon gir:
[tex]\int_ \: e^{x^2+x}\cdot(2x+1) dx=\frac{1}{2x+1} \cdot e^{x^2+x} \cdot (2x+1) - \int_\: \frac{1}{2x+1} \cdot e^{x^2+x} dx[/tex]

[tex]\int_ \: e^{x^2+x}\cdot(2x+1) dx=\frac{1}{2x+1} \cdot e^{x^2+x} \cdot (2x+1) - ln|2x+1| \cdot \frac{1}{2x+1} \cdot e^{x^2+x} +C[/tex]


Hvor ligger feilen?

Tips: Hva med å sette [tex]u=x^2+x[/tex], for dette blir feil.

Følg Andreas345s tips, og bruk substitusjon, ikke delvis integrasjon. Det bør ringe ei substitusjonsbjelle når du ser en sammensatt funksjon ganget med den deriverte av kjernen. Her har du den sammensatte funksjonen [tex]e^{x^2 + x}[/tex], der [tex]x^2 + x[/tex] er kjernen, ganget med den deriverte av kjernen, [tex]2x + 1[/tex].

edit: dette er forresten ikke lov i det hele tatt:

[tex]u^\prime(x)=e^{x^2+x} \; \; u(x)=\frac{1}{2x+1} \cdot e^{x^2+x}dx[/tex]

Regelen du ser ut til å bruke gjelder kun for lineære kjerner. (ikke konstanter, skreiv feil i sted)

Ja, som for eksempel e^x.

For oppgaven blir det:
[tex]du=2x+1dx[/tex]

[tex]\int_ \:e^{u}du=e^{u}+C=e^{x^2+x}+C[/tex]
Sustitusjonsbjellen vibrer fortsatt

Thanks..