matematikk.net

a) Finn konvergensintervallet og summen for rekka når ho konvergerer: [tex]\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{{{x^n}}}{{{2^n}}}} .\][/tex]

b) 1) Finn konvergensintervallet for rekka :[tex]\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{{{x^{n + 1}}}}{{(n + 1) \cdot {2^n}}}} .\][/tex]

b) 2) Bruk m.a. resultatet frå pkt a) til å forklarar at :[tex]\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{{{x^{n + 1}}}}{{(n + 1) \cdot {2^n}}} = \int\limits_0^x {\frac{2}{{t + 2}}dt} } .\][/tex]

c) Vis at :[tex]\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}\frac{{{x^{n + 2}}}}{{(n + 1) \cdot {2^{n + 1}}}} = x \cdot \ln (1 + \frac{x}{2})\;,\; - 2 < x \le 2} .\][/tex]

Finn grensa

[tex]\lim_{n\to \infty}\frac{|A_{n+1}|}{|A_n|}[/tex] der [tex] A_n[/tex] er n-te ledd i rekka, altså [tex]|A_n|=\frac{|x|^n}{2^n}[/tex]:

[tex]\frac{|A_{n+1}|}{|A_n|}=\frac{|x|}{2}[/tex] så konvergensradius blir 2 (konvergensintervallet [tex]-2<x<2[/tex]).

Siden

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{1}{1-r}[/tex] får vi

med [tex]r=\frac{-x}{2}[/tex] at summen blir [tex]\frac{1}{1-\frac{-x}{2}}[/tex] når x ligger i konvergensintervallet.

På b) 1) er det bare å bruke samme fremgangsmåten som i a).

På b) 2) bruker man antagelig taylorrekkeutviklinga til [tex]\frac{2}{t+2}[/tex] ([tex]\frac{2}{t+2}=\sum_0^{\infty}(-1)^n(\frac{t}{2})^n[/tex])og videre leddvis integrasjon (termwise integration). Ta utgangspunkt i integralet.

På c) kan du sette [tex]x/2[/tex] utenfor summen og bruke resultatet fra b) 2)