matematikk.net

Hei

Kunne trengt litt hjelp med to oppgaver innen vektorregning:

6.223
Linjen l går gjennom punktene A(4,-4,9) og B(7,2,15). En annen linje har parameterfremstillingen:

m: [x=1+t, y=2+2t, z=3+2t]

[...]

b) Finn avstanden mellom linjene l og m.
(har funnet ut i oppgave a at linjene er parallelle)

6.224
Punktene A(2,3,2), B(2,4,1) og C(5,6,-1) er gitt.

a) Vis at punktene ligger på linje. Done.

b) Finn avstanden fra punktet D(2,4,0) til linjen l.

Jeg har sjekket alle eksempeloppgavene i boken, og lest kapittelet om vektorfunksjoner og vektorer i rommet mange ganger - men jeg finner ikke ut av det. Det blir feil uansett hvilken formel jeg bruker. Har funnet avstanden ved å sette x=0 i begge parameterfremstillingene, og bruke formelen for vektorlengde til å finne lengden av vektoren mellom de to punktene, men det blir feil; siden det er den korteste avstanden jeg skal finne.

På forhånd takk for hjelpen.

Er vel deg fra diskusjon.no
har du fasit?...skal bare være å bruke "oppskriften" derfra...
-------------------------
Ett pkt A=(4, -4, 9) på m
og pkt Q = (1+t, 2+2t, 3+2t) på linja l.

[tex]\vec {AQ}=[t-3,2t+6,2t-6][/tex]

avstanden, d er lik
[tex]\,\,|\vec {AQ}|=\sqrt{(t-3)^2\,+\,(2t+6)^2\,+\,(2t-6)^2}=\sqrt{9t^2-6t+81}[/tex]

så ser vi bare på diskriminanten og deriverer for å finne minste avstand:

[tex]d^,(t)=18t-6=0[/tex]

[tex]t=1/3[/tex]

sett inn i d igjen:

[tex]d=8,9[/tex]

Takk for hjelpen. Da fikk jeg det til. Det er meg fra Diskusjon.no ja.


Kan jeg spørre om en ting til? Hva er det som gjør at man kan sløyfe rottegnet og kun derivere diskriminanden når man skal finne den minste avstanden?

Fasitsvaret var 4sqrt(5)=8.94.

MrB wrote:Takk for hjelpen. Da fikk jeg det til. Det er meg fra Diskusjon.no ja.
Kan jeg spørre om en ting til? Hva er det som gjør at man kan sløyfe rottegnet og kun derivere diskriminanden når man skal finne den minste avstanden?
Fasitsvaret var 4sqrt(5)=8.94.

tenk deg;

[tex]d(t)=\sqrt{9t^2-6t+81}=(9t^2-6t+81)^{0,5}[/tex]

[tex]d^,(t)=0,5*(9t^2-6t+81)^{-0,5}=0[/tex]

du kan "fjerne" både 0,5 og opphøyd i -0,5, pga null på høyre sida. Slik at vi bare kan betrakte og derivere diskriminanten...

Ahh ... Jeg skjønner. Takk nok en gang.

Eller, sagt på en annen måte:
[tex]d(t)=\sqrt{9t^2-6t+81}=(9t^2-6t+81)^{0,5}[/tex]

[tex]d^,(t)=[9t^2-6t+81]^, *0,5*(9t^2-6t+81)^{-0,5}=0[/tex]

[tex]d^,(t)=(18t - 6) *0,5*(9t^2-6t+81)^{-0,5}=0[/tex]

Forat dette siste skal bli lik null, må faktoren (18t - 6) være lik null,
siden 0,5 [symbol:ikke_lik] 0, og
[tex]\frac{1}{\sqrt{9t^2-6t+81}}[/tex]
ikke kan være lik null (hva skjer i den oppr. funksjonen når nevneren her er lik null?)

EDIT: etter litt mer fomling ser også jeg at polynomet 9t[sup]2[/sup]-6t+81 ikke har noen reelle røtter i t (blir aldri lik null)
Argumentet over endres jo ikke av den grunn.

Den trivielle forklaringen er jo at roten av noe er minst når det du tar roten av er minst. Så det er nok å finne når den deriverte av det under rottegnet er minst. Da vil jo hele greia vere minst mulig.

Siden [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] er monotont økende vil, for en ikke-negativ funksjon [tex]h(x)[/tex], [tex]f(h(x))[/tex] ha et globalt minimum der [tex]h(x)[/tex] har et globalt minimum.