matematikk.net

Oppgaven:
Det er innen et bestemt område 65 000 fugler i dag. Antall fugler y=f(t) i tusen tenkes å være en løsning av denne differensiallikningen:

y' = [tex]0,10y\cdot\(1-\frac{y}{195})[/tex]

Jeg kommet så langt:

y' = [tex]0,10y\cdot\(1-\frac{y}{195})[/tex]

y' = [tex]0,10y\cdot\(1-\frac{y}{195})|\cdot195[/tex]

195y' = [tex]0,10y\cdot\(195-y)[/tex]

[tex]\frac{1}{y}\cdot[/tex] 195y' = [tex]0,10\cdot\(195-y)[/tex]

[tex]\frac{1}{195-y}\cdot\frac{1}{y}\cdot[/tex] 195y' = [tex]0,10[/tex]

[tex]\frac{1}{(195-y)\cdot(y)}\cdot[/tex]195y' = 0,10

[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}\frac{dy}{dt}[/tex] = 0,10 [tex]|\cdot(dt)[/tex]

[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}dy[/tex] = 0,10 dt


[tex]\int\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}dy[/tex] = [tex]\int{0,10} dt[/tex]

[tex]\int\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}dy[/tex] = [tex]0,10\cdot(t) + C[/tex]

Utfører nå en delbrøkoppspalting:

[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}[/tex] = [tex]\frac{A}{195-y}+\frac{B}{y}[/tex]


[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}[/tex] = [tex]\frac{A}{195-y}+\frac{B}{y}[/tex] [tex]|\cdot(195-y)\cdot y[/tex]

[tex]195=A\cdot y + B\cdot (195-y)[/tex]

Setter y = 195:

[tex]195=195A[/tex] --> A = [tex]\frac{195}{195}[/tex] = 1

Setter så y = 0:

[tex]195=195B[/tex] --> B =[tex]\frac{195}{195}[/tex] = 1

[tex]\frac{195}{(195-y)\cdot(y)}[/tex] = [tex]\frac{1}{195-y}+\frac{1}{y}[/tex]

Integerer så den oppspaltede formen av brøken:

[tex]\int \frac{1}{y}+\frac{1}{195-y}[/tex]

[tex] = ln|y| - ln|195-y|[/tex]

Setter så dette inn igjen ved

[tex]ln|y| - ln|195-y| = 0,10\cdot(t) + C[/tex]

[tex]ln|\frac{y}{195-y}| = 0,10\cdot(t) + C[/tex]

[tex]e^{ln|\frac{y}{195-y}|} = e^{0,10\cdot(t) + C}[/tex]

[tex] |\frac{y}{195-y}| = e^{C}\cdot e^{0,10}[/tex]

[tex]\frac{y}{195-y} = [/tex][symbol:plussminus][tex] e^{C}\cdot e^{0,10}[/tex]

C = [symbol:plussminus][tex] e^{C}[/tex]

[tex]\frac{y}{195-y} = C\cdot e^{0,10}[/tex]

[tex]y=C\cdot e^{0,10}\cdot(195-y)[/tex]

[tex]\frac{1}{C} y = e^{0,10}\cdot(195-y)[/tex]

[tex]\frac{1}{C} \cdot e^{-0,10t} y = 195-y[/tex]

[tex]\frac{1}{C} = K[/tex]

[tex]y+K\cdot e^{-0,10t} y = 195[/tex]

[tex]y\cdot(K\cdot e^{-0,10t}+1) = 195[/tex]

[tex]y=\frac{195}{K\cdot e^{-0,10t}+1}[/tex]

Så bruker jeg informasjonen i oppgaven. Det er i dag 65 000 fugler, dvs ved t=0 er y=65000

[tex]65 000 =\frac{195}{K\cdot e^{-0,10\cdot 0}+1}[/tex]

[tex]65 000 =\frac{195}{K+1}[/tex]

[tex]65000 \cdot (K+1) = 195[/tex]

[tex]K+1 = \frac{195}{65000}[/tex]

[tex] K = 0,003 -1[/tex]

[tex] K = -0,9[/tex]

dvs

[tex]y=\frac{195}{-0,9\cdot e^{-0,10t}+1}[/tex]

Men dette er feil i forhold til fasiten, for den sier at:

[tex]y=\frac{195}{1+2e^{-0,10t}[/tex]

Er det noen som klarer å se hvor feilen ligger, og som eventuelt vil hjelpe meg videre? Smile

Jeg har store problemer med å lese utregningene dine, kan du ikke "oversette" dem til TeX. Her er en kort innføring i TeX:

mathme wrote:For nybegynnere, bruk gjerne LaTex, det er utrolig greit og oversiktilg, og ikke minst lett. Her er en guide som jeg, ved en misforståelsem laget (til FredrikM) -men han er jo pro i LaTex egentelig.

Vel, bruk 5min på å lese dette før du begynner å poste på matematikk.net. Da er du veldig veldig veldig grei


LaTex er enkelt egentelig. Kan du engelsk kan du laTex. La oss si du vil lage en brøk, hva var brøk på engelsk ? Fraction. For å gjøre saken lettere (av ren latskap) har de forkortoet fraction til frac.

I LaTex får du mye bruk for \ { }.
Hver gang du skal starte en matematisk kommando, begynner du med \ HVIS du ikke skriver vanlige tall... f.eks 1,2,3 .. det gjelder også komma, pluss osv slipper du kommandoen, da er det direkte inn... gange har man forkorta til cdot og for å "tegne gange" starter man med \ og skriver cdot:

\cdot

Som jeg sa, frac er en forkortelse for fraction. For å starte en brøkk skriver man derfor:

\frac {teller}{nevner}


La oss si du vil ha noe opphøyd. 2 opphøyd i 43 for eksempel, da går det slik:

2^{43}

La oss si du vil ha en vektor, hva er vektor på engelsk ? Jo; vector... av ren latskap forkorter vi saken til vec og får:

\vec{AB}

La oss si vi vil ha kryssproduktet mellom to vektorer, kryssprodukt tegnet er ren teknisk sett gange tegn i USA og andre ASIAtiske land, gange heter på engelsk ? : times

Så vi vil ha to vektorer ganget med hverandre, da gjør vi det slik:

\vec{AB} \times \vec{BC}

La oss si vi vil dele kryssproduktet på absoluttverdien til en normalvektor n:

\frac {\vec{AB} \times \vec{BC}}{| \vec{n}|}

La oss si vi vil ha rota av 2 i andre pluss åtte i andre totalt opphøyd i to. Rottegn på engelsk, igjen av ren latskap, forkorter vi til sqrt, det gir:

\sqrt {(2^2+8^2)^2}

Legg merke til at jeg ikke brukte {} rundt opphøyingen, det er fordi det er ett tall, og da sløyfer vi saken. Hvis det var 2 opphøyd i 23 ville det se slikt ut:

\sqrt {(2^{23}+8^2)^2}

Hvis du vil skrive cosinus til alfa, skriver du det på følgende måte:
\cos \alpha


Dette er de mest grunnlegende ferdighetene i LaTex. Et lite tips er å laste ned mathtype. Gå inn på preferences og bytt translation til LaTex. Hvis du lurer på hvordan koden til noe ser ut i latex, så skriver du det inn på mathtype, merker av og trykker ctrl + c , deretter åpner du notebook/notisbok og trykker ctrl + v ... da ligger koden der og du kan studere den.

Du må ikke glemme at, alltid når du skal begynne med noe i LaTex, må du begynne med [ tex] og slutte med [ /tex] uten mellomrom. Dessuten finner du en nyttig tast øverst til høyre på menyen til matematikk.net. Du kan marke av der du vil putte in [tex][tex ][/tex], og trykke på knappen, da settes den inn automatisk. Lykke til og spørr om det var noe mer.

Intergraltegn får du med kommandoen \int

Sånn, nå har jeg tjottet sammen en noe amatørmessig LaTex

Bra jobba med "oversettelsen" til TeX!!!

Fant feilen. Antall fulgler regnes i hele tusen. Derfor må du løse likningen:

[tex]y(0)= 65[/tex] og ikke [tex]y(0)=65000[/tex]

Dette gir deg [tex]K=2[/tex], som i fasitsvaret ditt.

Å herregud! Typisk meg å overse en slik (viktig!) detalj!

Tusen takk for hjelpen, likevel!