matematikk.net

Oppgave. 6.17

Finn den integrerende faktoren. Multipliser begge sidene av likningen med den integrerende faktoren, og finn Y slik at den nye venstresiden av likningen kan skrives som Y'.

a) y' - 3y = 4
f(x) = -3, F(x) = -3x som gir den integrerende faktoren = e^(-3x)

Multiplisering gir:
y'*e^(-3x) - 3e^(-3x) = 4e^(-3x) ?


Resten av oppgaven skjønner jeg ikke

Da faktoriserer du venstre siden til:

[tex](I(x) \cdot y)^, = 4e^{3x}[/tex]

Det er alltid I(x) og y som skal inn i parentesen!

også integrerer på begge sider og fikser opp så du får et generelt uttrykk for y...

Skjønte du?

Her er en generell gjennomgang av metoden med I.F.

La oss ta for oss diffligningen [tex]y^\prime + p(x)y=q(x)[/tex].

Hvis vi ganger gjennom med [tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex], får vi

[tex]y^\prime e^{\int p(x)\rm{d}x}\, + p(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y=q(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex].

Legg merke til at

[tex]\left(e^{\int p(x)\rm{d}x}\right)^\prime=p(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex].

Det vil si at

[tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y^\prime+p(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y=\left(e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y\right)^\prime[/tex],

så vi har nå ligningen

[tex]\left(e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y\right)^\prime=q(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex].

Dette gir

[tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}\,y=\int q(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}\rm{d}x[/tex] (ser du hvorfor?)

Til sist får vi at

[tex]y=\frac{\int q(x)e^{\int p(x)\rm{d}x}\rm{d}x}{e^{\int p(x)\rm{d}x}}[/tex]

Bare pass på å ikke memorisere formelen over, for det er strengt tatt ikke verdt det. Konsentrer heller på å memorisere metoden.

Den integrerende faktoren er [tex]e^{\int p(x)\rm{d}x}[/tex].