matematikk.net

Hei!

Kan dere hjelpe meg med en oppgave?

En vektorfunksjon gitt ved

r(t) = [(t^2)+2 , 9t-(t^3) ]

Kurven har tre tangenter som er parallelle med koordinataksene. Finn likningene til disse tre tangentene.

Utregning:
Vektorfunksjonen har ingen skjæringspunkter med y-aksen men skjærer med x-aksen i to punkter som svarer til t-verdiene t=0, t=-3 og t=3

Den deriverte vektorfunksjonen blir

r'(t) = [2t , 9 - 3t^2]

hvis y = f(t) = 9 -3t^2 så er

f(t) = f'(t) *t + b

Prøvde å sette inn for t = 0, men svaret stemmer ikke. Jeg tenker nok feil. Noen som kan hjelpe?:)

Hvorfor regner du ut skjæringspunkter?

Hvis tangenten er parallell med x-aksen så er [tex]\vec{r}^\prime(t) \ || \ [1,0][/tex] og hvis den er parallell med y-aksen så er [tex]\vec{r}^\prime(t) \ || \ [0,1][/tex]. Bruk dette til å finne t-verdier!

Jeg tenkte at tangentene ville være parallelle med skjæringspunktene siden skjæringspunktene ligger på koordinataksene, men jeg aner ikke helt hva jeg gjør.. synes dette temaet er vanskelig.

Kan du værsåsnill å forklare litt mer? Hvordan kommer du fram til [1,0] ? kunne det ha stått [3,0] ?

og jeg finner s = 2*[symbol:rot]3 og s = 2* -[symbol:rot]3 og s= 9, men jeg får ikke riktige likninger med framgangsmåten jeg nevnte ovenfor.

Ja, det kunne stått [3,0]. En hver vektor [k,0] er jo parallell med x-aksen, og en hver vektor [0,k] er parallell med y-aksen. Dette er jo lett å se grafisk -- hvis du ikke går noen "steg" langs y-aksen, så må jo vektoren peke langs x-aksen, må den ikke?

Her setter du rett og slett opp det jeg sa, at [tex]\vec{r}^\prime(t) \ || \ [1,0][/tex]. Det vil si at [tex]\vec{r}^\prime(t) = k \cdot [1,0] = [k,0][/tex]. Det gir deg to ligninger, en for x-komponentene og en for y-komponentene.

Gjør akkurat det samme for å finne t-verdien der tangenten er parallell med y-aksen, bare at du nå bruker at [tex]\vec{r}^\prime(t) \ || \ [0,1][/tex].

For å finne ligningene til tangentene trenger du bare å vite hvor linjene skal tangere. Det får du ved å sette t-verdien inn i [tex]\vec{r}(t)[/tex].

Tusen takk for hjelpen. Jeg ser hva du gjør, men jeg skjønner ikke hvordan du tenker. Hva mener du med "hvor linjene skal tangere"?

Du skal jo finne ligningene til tangentene. De vil være på formen y = k for de to som er parallelle med x-aksen, og på formen x = k for den som er parallell med y-aksen. Du må jo vite hvor tangentene skal tangere, altså være borti grafen hvis du skal finne en ligning for linjene. Det gjør du som sagt ved å sette t-verdiene inn i [tex]\vec{r}(t)[/tex]. Da får du ut tangeringspunktene.

Jeg kan vise hvordan du finner ligningen til tangenten som er parallell med y-aksen. Denne har tangeringspunkt i punktet der t = 0. Setter du inn 0 får du punktet (2, 0). Siden dette er en vertikal linje, parallell med y-aksen, er den på formen x = k. x-komponenten til tangeringspunktet er 2, altså må ligningen til linja være x = 2.

Fremgangsmåten for å finne ligningene til tangentene som er parallelle med y-aksen er nesten den samme.

tusen takk! snilt av deg å hjelpe:)