matematikk.net

Vis ved induksjon at

[tex] n^3 - 4n + 6[/tex]

er delelig med 3 for alle naturlige tall [tex] n \ge 0 [/tex]

Dette har jeg gjort:

Skal vise at:

[tex] \frac{n^3-4n+6}{3} = a, \ a \in N [/tex]

Trinn 1: Viser at formelen er riktig for [tex] n=1 [/tex]

[tex] \frac{1^3-4\cdot1 + 6}{3} \\ \frac{3}{3} = 1, \ \in N [/tex]

Formelen er altså rett for [tex] n=1[/tex]

Trinn 2: Antar at formelen er rett for [tex]n=k[/tex], altså at:

[tex]\frac{k^3-4k+6}{3} = a, \ a \in N [/tex]

Må vise at formelen også er rett for [tex]n=k+1[/tex], altså at:

[tex]\frac{(k+1)^3-4(k+1)+6}{3} = b, \ b \in N [/tex]


og DER stopper det, klarer ikke å omforme den slik at jeg kan bevise formelen! Noen som kan hjelpe eller?

Ser fint ut foreløpig. Nå bør du bruke det du allerede veit, nemlig at (k^3-4k+6)/3=a er et heltall. Hvis du ekspanderer uttrykket som du har kalt b, finner du igjen a, og kan finne en c så b=a+c. Du veit at a er et heltall, så hvis du kan vise at c er et heltall, må også b være det. (Hvorfor?)

Okei, jeg tror jeg skjønner tankegangen din

Da blir det videre:

[tex] \frac{k^3+3k^2+3k+1-4k-1+6}{3} \\ = \frac{(k^3-4k+6)+(3k^2+3k+1-1)}{3} \\ = \frac{k^3-4k+6}{3} + \frac{3k^2+3k}{3} \\ = a + \frac {3k(k+1)}{3} \\ = a + k(k+1) [/tex]

Siden [tex] b = a + k(k+1) [/tex], og [tex]k[/tex] er et heltall, er også [tex]b[/tex] et heltall.

Formelen er derfor også riktig for [tex]n = k +1 [/tex]

Formelen [tex]\frac{n^3-4n+6}{3} = a, \ a \in N [/tex] er derfor riktig for alle heltallige [tex] n \ge 0 [/tex]

Er dette riktig?

Det er bra. (Du sier til slutt at det stemmer for n=0 også, men du starta induksjonen ved n=1, men dette er pirk.)

Aha, så hvis jeg hadde startet induksjonen med n=0 istedenfor n=1, så hadde beviset vært 100 % korrekt?

Evt. bare sagt at det gjaldt for alle n > 0.

Det hadde også vært en mulighet ja, men da hadde jeg ikke svart helt på oppgaven!

Men mange takk for hjelpen!

Ah, så ikke ordentlig på oppgaveteksten.

Forresten, hvis du vil ha de tegnene som vanligvis brukes for de forskjellige tallmengdene, bruker du koden \mathbb{R} i tex. F.eks
[tex]\mathbb{N} \quad \mathbb{Q} \quad \mathbb{R}[/tex]