matematikk.net

"Bevis" for at alle negative tall er større enn [tex]\infty[/tex]

Legg merke til at tallene

[tex]\frac 13, \, \frac 12, \, \frac 11[/tex]

lager en økende sekvens. Generelt gjelder

[tex]\frac {1}{m} \lt \frac{1}{m-1}[/tex]

Setter vi [tex]m=0[/tex] får vi

[tex]\frac 10 \lt \frac{1}{-1}[/tex]

... som betyr: [tex]\infty \lt -1[/tex].

- -

Leste denne i en bok jeg leser nå. Artig hva som skjer når man leker med symboler og glemmer av hva de symboliserer.

1 delt på 0 er jo ikke uendelig, men udefinert.

Men du kan umulig nekte for at tolkningen har noe fornuft, og det oppfyller sin rolle når det gjelder denne vitsen.

Vi kan faktisk argumentere enda bedre enn dette for påstanden. Se på følgende illustrasjon:



Tallinjen er nederst, og vi har en sirkel som ligger på tallinjen. Hvert tall kan framstilles som en vinkel fra toppunktet og ned på tallinjen. Legg merke til at alle tall, bortsett fra null har en "negativ" (1 har -1, osv). Når vi lar vinkelen øke, øker også tallverdien, og vi kan konkludere med at [tex]\infty[/tex] befinner seg på toppen av sirkelen. (slik 0 befinner seg nederst, og 1 befinner seg ved siden av null, osv). Legg også merke til at om vi beveger oss oppover mot klokken på sirkelen, stiger tallverdiene hele tiden. Men når vi har passert [tex]\infty[/tex], kommer vi plutselig over til de negative tallene.

Derfor kan vi konkludere med at [tex]\infty \lt -1[/tex]

Fortsetter vi rekken får man

1/-1 < 1/-2 som hvisker meg i øret at vitsen er basert på at man later som man glemmer å snu ulikhetstegnet når man passerer null. Er jeg på sporet?

Tja, det er vel ikke helt vanntett, men det er jo viktig å påpeke at i sirkel "beviset" er det umulig og skille mellom + - [symbol:uendelig] , siden ingen av de skjærer talllinjen.

FredrikM wrote:Vi kan faktisk argumentere enda bedre enn dette for påstanden. Se på følgende illustrasjon:



Tallinjen er nederst, og vi har en sirkel som ligger på tallinjen. Hvert tall kan framstilles som en vinkel fra toppunktet og ned på tallinjen. Legg merke til at alle tall, bortsett fra null har en "negativ" (1 har -1, osv). Når vi lar vinkelen øke, øker også tallverdien, og vi kan konkludere med at [tex]\infty[/tex] befinner seg på toppen av sirkelen. (slik 0 befinner seg nederst, og 1 befinner seg ved siden av null, osv). Legg også merke til at om vi beveger oss oppover mot klokken på sirkelen, stiger tallverdiene hele tiden. Men når vi har passert [tex]\infty[/tex], kommer vi plutselig over til de negative tallene.

Derfor kan vi konkludere med at [tex]\infty \lt -1[/tex]

Men gjelder ikke det bare komplekse tall? I en bok jeg har her står det at vi som følge av Riemannsfæren kan bli enige om at komplekse tall Z har følgende egenskaper
[tex]\frac{Z}{0}=\infty,\,Z\infty=\inf,\,og\,Z+\infty=\infty,\, Z\in\mathbb{C}\cup\lbrace\infty\rbrace[/tex]
Det jeg vil tro er at du også må behandle egenskapene som grenseverdier, da punktet P som danner linjen fra N (0, 1) til Z konvergerer mot N. Da har en også to muligheter: Grenseverdi fra venstre, og grenseverdi fra høyre. Så jeg tror du vil komme frem til at Z/0 = [symbol:plussminus]inf avhengig av om P_x er større eller mindre enn 0.

EDIT: En kan kanskje komme frem til samme egenskaper når det gjelder reelle tall ved å spesifisere R U inf Da blir jeg den første til å si hei til intervallet [-inf, inf]

EDIT2:
http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line
http://en.wikipedia.org/wiki/Projective ... al_numbers

edahl wrote: EDIT: En kan kanskje komme frem til samme egenskaper når det gjelder reelle tall ved å spesifisere R U inf Da blir jeg den første til å si hei til intervallet [-inf, inf]

Nesten riktig:

Det er to måter å gjøre det på:

Alexandroff ettpunktskompaktifikasjon av den reelle linjen som er en kontinuerlig og bijektiv funksjon mellom den relle linjen og enhetssirkelen uten toppunktet hvor man i tillegg legger til et nytt punkt, kalt [tex]\infty[/tex] (som blir toppunktet på enhetssirkelen).

Det andre er en topunktskompaktifikasjon hvor man legger til to punkter ([tex]\pm \infty[/tex])

Virket som du blandet sammen disse to...

Beklager hvis jeg drar opp gamle tråder uhensiktsmessig, men jeg har et lite innspill.

Det gjelder altså påstanden om at [tex]\frac{1}{0}=\infty[/tex]

Ren barneskolematte tilsier på strak arm at dette er feil.

Grunnlaget:

Når vi lærte å gange og dele, så lærte vi også å sjekke svaret.

Altså hvis [tex]16 : 2 = 8[/tex]

Så sjekker man ved å bekrefte at [tex]8 \cdot 2 = 16[/tex]

Her faller den ovenforstående påstanden i grus.

[tex]1 : \infty = 0[/tex] skulle dermed tilsi at [tex]0 \cdot \infty = 1[/tex]

Med den logikken kan man også påstå at

[tex]2 : \infty = 0[/tex] tilsier at [tex]0 \cdot \infty = 2[/tex]

Osv...

På samme måte motargumenterer man divisjon med 0.

Altså fordi hvis [tex]\frac{8}{0} = k[/tex] der k er en hvilken som helst konstant, så må vi også konkludere med at [tex]k \cdot 0 = 8[/tex] når vi vet at multiplikasjon med 0 gir 0.

Så jeg lurer litt på hvilken bok det er som nevnes i første innlegg

Aleks855 wrote:Beklager hvis jeg drar opp gamle tråder uhensiktsmessig, men jeg har et lite innspill.

Det gjelder altså påstanden om at [tex]\frac{1}{0}=\infty[/tex]

Ren barneskolematte tilsier på strak arm at dette er feil.

Grunnlaget:

Når vi lærte å gange og dele, så lærte vi også å sjekke svaret.

Altså hvis [tex]16 : 2 = 8[/tex]

Så sjekker man ved å bekrefte at [tex]8 \cdot 2 = 16[/tex]

Her faller den ovenforstående påstanden i grus.

[tex]1 : \infty = 0[/tex] skulle dermed tilsi at [tex]0 \cdot \infty = 1[/tex]

Med den logikken kan man også påstå at

[tex]2 : \infty = 0[/tex] tilsier at [tex]0 \cdot \infty = 2[/tex]

Osv...

På samme måte motargumenterer man divisjon med 0.

Altså fordi hvis [tex]\frac{8}{0} = k[/tex] der k er en hvilken som helst konstant, så må vi også konkludere med at [tex]k \cdot 0 = 8[/tex] når vi vet at multiplikasjon med 0 gir 0.

Så jeg lurer litt på hvilken bok det er som nevnes i første innlegg

Hei.

Det gir ikke mening å si at [tex]\frac{1}{0}=\infty[/tex] ettersom det er umulig å dele på [tex]0[/tex]. Som påpekt over er dette en udefinert verdi. Det vi imidlertid kan si er at:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty[/tex].

For å bevise dette nærmere må du ha kjennskap til litt reell analyse, som f.eks. epsilon-delta definisjonen.

Men det blir uansett fortsatt feil å si at

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} < \lim_{x \to 0}\frac{1}{x-1}[/tex]

Nebuchadnezzar wrote:Men det blir uansett fortsatt feil å si at

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} < \lim_{x \to 0}\frac{1}{x-1}[/tex]

Det stemmer.

Det følger jo logisk at

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty[/tex] og [tex]\lim_{x \to 0}\frac{1}{x-1} = -1[/tex].

Men her snakker vi om grenseverdier. En grenseverdi er jo ikke det samme som et tall. I oppgaven til trådstarter er det jo tall, og ikke grenseverdier, som man skal ta utgangspunkt i.

Meningen med mitt innlegg var bare å illustrere for Aleks855 at det ikke gir mening i å sette [tex]\frac{1}{0} = \infty[/tex] med mindre man setter det opp som en grenseverdi.

krje1980 wrote:

Aleks855 wrote:Beklager hvis jeg drar opp gamle tråder uhensiktsmessig, men jeg har et lite innspill.

Det gjelder altså påstanden om at [tex]\frac{1}{0}=\infty[/tex]

Ren barneskolematte tilsier på strak arm at dette er feil.

Grunnlaget:

Når vi lærte å gange og dele, så lærte vi også å sjekke svaret.

Altså hvis [tex]16 : 2 = 8[/tex]

Så sjekker man ved å bekrefte at [tex]8 \cdot 2 = 16[/tex]

Her faller den ovenforstående påstanden i grus.

[tex]1 : \infty = 0[/tex] skulle dermed tilsi at [tex]0 \cdot \infty = 1[/tex]

Med den logikken kan man også påstå at

[tex]2 : \infty = 0[/tex] tilsier at [tex]0 \cdot \infty = 2[/tex]

Osv...

På samme måte motargumenterer man divisjon med 0.

Altså fordi hvis [tex]\frac{8}{0} = k[/tex] der k er en hvilken som helst konstant, så må vi også konkludere med at [tex]k \cdot 0 = 8[/tex] når vi vet at multiplikasjon med 0 gir 0.

Så jeg lurer litt på hvilken bok det er som nevnes i første innlegg

Hei.

Det gir ikke mening å si at [tex]\frac{1}{0}=\infty[/tex] ettersom det er umulig å dele på [tex]0[/tex]. Som påpekt over er dette en udefinert verdi. Det vi imidlertid kan si er at:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty[/tex].

For å bevise dette nærmere må du ha kjennskap til litt reell analyse, som f.eks. epsilon-delta definisjonen.

Det er vel bare en annen ordlegging av det jeg sa.

Forsåvidt ja .

[tex]\infty=+\infty[/tex]

I dette over kommer vel positive tall og ikke negative tall, så hvordan kan negative tall være større enn positive tall?

[tex]- \infty[/tex]

i denne kommer det negative tall.