Sannsynlighet i Yatzy
Posted: 18/02-2009 22:15
For dem som har hatt moro med terningspillet Yatzy, finnes det to meget interessant tjenester på Internett: Optimal Solitaire Yahtzee Player og Yahtzee Proficiency Test: http://www-set.win.tue.nl/~wstomv/misc/yahtzee
Her i Norge er man mest vant til å spille Yatzy med fem terninger (med bl.a. ett par og to par) eller Maxi-Yatzy (evt. med såkalte jetoner, oppsparte kast), mens i denne "internasjonale" versjonen er reglene litt annerledes. Man spiller med fem terninger, uten opsjonene ett par og to par, og der liten straight tilsvarer fire terninger etter hverandre og stor straight fem terninger etter hverandre. Får man tre like eller fire like, får man også poeng for de andre terningene.
I Yatzy er det som kjent mye sannsynlighetsteori og statistikk. Applikasjonen gjør nytte av dette, og i Yahtzee Proficiency Test kan man selv prøve å finne de optimale trekkene, dvs. de trekkene som statistisk sett gir høyest forventet sluttverdi (gjennomsnittsverdi). Jeg har et konkret problem som jeg strevde en del med, nemlig tilfellet der man kun har stor straight igjen (er altså ekvivalent med liten straight eller stor straight i vanlig Yatzy med fem terninger i Norge). Man triller terningene og får:
22366
Spørsmålet er da: Skal man beholde 236 eller 23? Velger man det første alternativet, er man bundet til å prøve å få 23456, mens det andre alternativet også holder muligheten 12345 åpen. Dette problemet anså jeg som såpass ukomplisert at jeg brukte elementær sannsynlighetsteori for å løse det. Jeg presenterer fremgangsmåten under.
Innfører først hendelsene P(2-3-6), sannsynligheten for å få stor straight dersom man beholder 236, og P(2-3), sannsynligheten for å få stor straight dersom man beholder 23. Jeg kan ikke forklare hva alle brøkene nedenfor represententerer, men jeg foreslår at leseren kan regne på det selv og finne ut hvor jeg gjør feil. Jeg kommer nemlig frem til at P(2-3-6) > P(2-3), mens fasiten er "236__ 125.54 15 23___ 126.41 16 0.86", som betyr at 23 i gjennomsnitt gir 0,86 poeng høyere forventet sluttsum (med et standardavvik på 16 kontra 15).
[tex]P(2-3-6) = 1-(2/6*5/6*5/6+4/6(2/6*5/6+4/6*17/18))[/tex][symbol:tilnaermet][tex]0,16[/tex]
[tex]P(2-3) = 1-(2/6(2/6*5/6*5/6+4/6(2/6*5/6+4/6*17/18))+2/6(2/6*5/6*5/6+1/6*4/6*[/tex]
[tex]4/6+3/6(2/6*5/6+1/6*4/6))+2/6(2/6(2/6*5/6+4/6*17/18)+2/6(2/6*5/6+[/tex]
[tex]1/6*4/6+3/6(2/6*5/6+1/6*4/6+3/6))+2/6(2/6*17/18+2/6(2/6*5/6+1/6*[/tex]
[tex]4/6+3/6)+2/6(2/6*17/18+2/6(2/6*5*6+1/6*4/6+3/6)+2/6)))))[/tex][symbol:tilnaermet][tex]0,14[/tex]
Det finnes kanskje en enklere måte å regne på også, men det vesentlige er altså at P(2-3-6) skal være mindre enn P(2-3), mens jeg altså får det motsatte resultat. Håper noen tar seg tid til å gi seg i kast med litt sannsynlighetsregning.
PS: Innlegget er nå endret, slik at det forhåpentlig blir litt enklere å lese.
Her i Norge er man mest vant til å spille Yatzy med fem terninger (med bl.a. ett par og to par) eller Maxi-Yatzy (evt. med såkalte jetoner, oppsparte kast), mens i denne "internasjonale" versjonen er reglene litt annerledes. Man spiller med fem terninger, uten opsjonene ett par og to par, og der liten straight tilsvarer fire terninger etter hverandre og stor straight fem terninger etter hverandre. Får man tre like eller fire like, får man også poeng for de andre terningene.
I Yatzy er det som kjent mye sannsynlighetsteori og statistikk. Applikasjonen gjør nytte av dette, og i Yahtzee Proficiency Test kan man selv prøve å finne de optimale trekkene, dvs. de trekkene som statistisk sett gir høyest forventet sluttverdi (gjennomsnittsverdi). Jeg har et konkret problem som jeg strevde en del med, nemlig tilfellet der man kun har stor straight igjen (er altså ekvivalent med liten straight eller stor straight i vanlig Yatzy med fem terninger i Norge). Man triller terningene og får:
22366
Spørsmålet er da: Skal man beholde 236 eller 23? Velger man det første alternativet, er man bundet til å prøve å få 23456, mens det andre alternativet også holder muligheten 12345 åpen. Dette problemet anså jeg som såpass ukomplisert at jeg brukte elementær sannsynlighetsteori for å løse det. Jeg presenterer fremgangsmåten under.
Innfører først hendelsene P(2-3-6), sannsynligheten for å få stor straight dersom man beholder 236, og P(2-3), sannsynligheten for å få stor straight dersom man beholder 23. Jeg kan ikke forklare hva alle brøkene nedenfor represententerer, men jeg foreslår at leseren kan regne på det selv og finne ut hvor jeg gjør feil. Jeg kommer nemlig frem til at P(2-3-6) > P(2-3), mens fasiten er "236__ 125.54 15 23___ 126.41 16 0.86", som betyr at 23 i gjennomsnitt gir 0,86 poeng høyere forventet sluttsum (med et standardavvik på 16 kontra 15).
[tex]P(2-3-6) = 1-(2/6*5/6*5/6+4/6(2/6*5/6+4/6*17/18))[/tex][symbol:tilnaermet][tex]0,16[/tex]
[tex]P(2-3) = 1-(2/6(2/6*5/6*5/6+4/6(2/6*5/6+4/6*17/18))+2/6(2/6*5/6*5/6+1/6*4/6*[/tex]
[tex]4/6+3/6(2/6*5/6+1/6*4/6))+2/6(2/6(2/6*5/6+4/6*17/18)+2/6(2/6*5/6+[/tex]
[tex]1/6*4/6+3/6(2/6*5/6+1/6*4/6+3/6))+2/6(2/6*17/18+2/6(2/6*5/6+1/6*[/tex]
[tex]4/6+3/6)+2/6(2/6*17/18+2/6(2/6*5*6+1/6*4/6+3/6)+2/6)))))[/tex][symbol:tilnaermet][tex]0,14[/tex]
Det finnes kanskje en enklere måte å regne på også, men det vesentlige er altså at P(2-3-6) skal være mindre enn P(2-3), mens jeg altså får det motsatte resultat. Håper noen tar seg tid til å gi seg i kast med litt sannsynlighetsregning.
PS: Innlegget er nå endret, slik at det forhåpentlig blir litt enklere å lese.