Volum av rotasjonslegeme, riktig/ikke riktig utregning?
Posted: 15/02-2009 17:35
Hei
Har regnet denne oppgaven på to måter, men får en ørliten forskjell i de to svarene mine, så jeg lurer veldig på hvilket som er riktig.
Oppgaven er å finne volumet av rotasjonslegemet når funksjonen
[tex]y=\frac{1}{sqrt{1+x^2}}[/tex] dreies om x-aksen, begrenset av linjene x=0 og x=1 og x-aksen.
Første metode:
[tex]V = \pi \int_0^1 (\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})^2dx=\pi \int_0^1 \frac{dx}{{1+x^2}}[/tex]
[tex]x=tan\theta \Rightarrow dx=(tan^2\theta +1)d\theta[/tex]
[tex]\int \frac{dx}{1+x^2}=\int \frac{(tan^2\theta +1)d\theta}{1+tan^2\theta}=\int d\theta= \theta + C = tan^{-1} x+C[/tex]
[tex]V = \pi [tan^{-1} x]_0^1=\pi (tan^{-1} (1)-tan^{-1}(0))=\frac{{\pi}^2}{4}[/tex]
Andre metode:
[tex]V=2\pi \int x \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx[/tex]
[tex] u=x^2 +1 \Rightarrow du=2xdx \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}[/tex]
[tex]V=2\pi \int \frac{du}{2\sqrt{u}}=2\pi[\sqrt{x^2+1}]_0^1=2\pi(\sqrt{2}-1)[/tex]
Første metoden gir 2.4674 og andre metode 2.6 et eller annet, så hva er egentlig riktig, og hvorfor blir ikke svarene like? Tror kanskje jeg har heksa det til et eller annet sted, men vet ikke hvor.
Har regnet denne oppgaven på to måter, men får en ørliten forskjell i de to svarene mine, så jeg lurer veldig på hvilket som er riktig.
Oppgaven er å finne volumet av rotasjonslegemet når funksjonen
[tex]y=\frac{1}{sqrt{1+x^2}}[/tex] dreies om x-aksen, begrenset av linjene x=0 og x=1 og x-aksen.
Første metode:
[tex]V = \pi \int_0^1 (\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})^2dx=\pi \int_0^1 \frac{dx}{{1+x^2}}[/tex]
[tex]x=tan\theta \Rightarrow dx=(tan^2\theta +1)d\theta[/tex]
[tex]\int \frac{dx}{1+x^2}=\int \frac{(tan^2\theta +1)d\theta}{1+tan^2\theta}=\int d\theta= \theta + C = tan^{-1} x+C[/tex]
[tex]V = \pi [tan^{-1} x]_0^1=\pi (tan^{-1} (1)-tan^{-1}(0))=\frac{{\pi}^2}{4}[/tex]
Andre metode:
[tex]V=2\pi \int x \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx[/tex]
[tex] u=x^2 +1 \Rightarrow du=2xdx \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}[/tex]
[tex]V=2\pi \int \frac{du}{2\sqrt{u}}=2\pi[\sqrt{x^2+1}]_0^1=2\pi(\sqrt{2}-1)[/tex]
Første metoden gir 2.4674 og andre metode 2.6 et eller annet, så hva er egentlig riktig, og hvorfor blir ikke svarene like? Tror kanskje jeg har heksa det til et eller annet sted, men vet ikke hvor.
...