matematikk.net

Hvordan løser man denne likningen [tex]y"+y^\prime-2y=2t[/tex] ?

Jeg har kommet så langt at jeg har funnet den homogene løsningen [tex]y_h=C_1e^t+C_2e^{-2t}[/tex], men jeg sliter litt med den partikulære løsningen... Jeg har tenkt noe på formen [tex]y_p=K_1t[/tex] eller [tex]y_p=K_1t+K_0[/tex]. (er usikker på om jeg skal ha med [tex]K_0[/tex] eller ikke...)

Noen tips og råd på veien? Hvordan finner jeg [tex]K_1[/tex] og evt [tex]K_0[/tex]?

Det blir riktig med [tex]K_1t+K_0[/tex]. Du setter inn i venstresiden og krever differensiallikningen oppfylt.

Siden
[tex]y_p^\prime=K_1[/tex] og [tex]y_p^{\prime\prime}=0[/tex], følger at [tex]y_p^{\prime\prime}+y_p^\prime-2y_p=K_1-2K_0-2K_1t[/tex]

Dette uttrykket skal være identisk lik høyresiden, altså [tex]2t[/tex]. Da følger at [tex]K_1-2K_0=0[/tex] og [tex]-2K_1=2[/tex]

Resten fikser du selv.

takk skal du ha! etter litt prøving og feiling på egenhånd var kommet jeg frem til det samme, men var usikker på om det var riktig. Ser nå at jeg hadde tenkt rett.

Merk at det er en generell tommelfingerregel at du prøver med en lineærkombinasjon av alle deriverte av høyresiden som antagelse for partikulærløsning.