matematikk.net

Gitt [tex]\Delta ABC[/tex] og punktene [tex]D,E,F[/tex] på de respektive linjene[tex]BC,CA,AB[/tex].

Vis at linjene [tex]AD,BE,CF[/tex] snitter i ett punkt, si [tex]P[/tex], hvis og bare hvis [tex]\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1[/tex].

http://bildr.no/view/338517

plutarco wrote:Gitt [tex]\Delta ABC[/tex] og punktene [tex]D,E,F[/tex] på de respektive linjene[tex]BC,CA,AB[/tex].

Vis at linjene [tex]AD,BE,CF[/tex] snitter i ett punkt, si [tex]P[/tex], hvis og bare hvis [tex]\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1[/tex].

http://bildr.no/view/338517

[tex]\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1[/tex]

Kommer alltid til å være 1 uansett!!! Se gjennom formelen selv

Du tar nok feil der. Husk at det ikke er midtpunkter, men vilkårlige punkt på linjene.

Jeg har sett et bevis for dette, og jeg må si at jeg skjønte veldig lite.

Noen som kan forklare?

Hint:

Må bevises begge veier.

Anta først at de tre linjene snitter i P.

Trekk høyder fra punktet P til de tre sidekantene i trekant ABC.

Uttrykk arealer vha. disse høydene.

Opps glemte at det var snakk om linjestykker, ikke tall.

Thales wrote:Opps glemte at det var snakk om linjestykker, ikke tall.

Hehe, hadde ikke blitt store nøtta da nei xD

Det er snakk om lengder, altså tall. Men som du ser så er ikke nødvendigvis noen av lengdene like, så du kan ikke stryke noen av dem bort.

Jeg kan se hvorfor de snitter når likningen går opp, men jeg kan ikke dette med formelle bevis ennå. Det jeg umiddelbart ser er at midtlinjer alltid vil krysse, og at en økning i EA og DC fører til at AF blir mindre, så det justerer seg selv. Ser ut til at sin A = Dq/AD, er lik sin B = Eq/BE, hvor q er punktet på AB loddrett ned fra D og E i hvert sitt tilfelle, forutsett at linjene krysser ved P.