matematikk.net

En wire med lengde L deles i to deler. Den ene delen bøyes til et kvadrat, og den andre til en likesida trekant. Avgjør hvordan wiren skal deles for at summen av de to arealene skal bli minst mulig.

Stemmer det at det kan bli noe så stygt som forholdet [tex]2\sqrt 3 \ : \ 2\sqrt 3 + 1[/tex] mellom lengden til kvadratet og lengden til trekanten?

Vektormannen wrote:Stemmer det at det kan bli noe så stygt som forholdet [tex]2\sqrt 3 \ : \ 2\sqrt 3 + 1[/tex] mellom lengden til kvadratet og lengden til trekanten?

skal vi sjå....jeg satt
[tex]L=4a + 3s[/tex]
a: sidene i kvadratet
s: sidene i trekanten

da blei:[tex]\,\,\,\frac{a}{s}=\frac{18+8\sqrt3}{6(4+3\sqrt3)}[/tex]
evt
[tex]\frac{4a}{3s}={4\over 3}\cdot \left(\frac{18+8\sqrt3}{6(4+3\sqrt3)}\right)[/tex]

orker ikke engang å forkorte. Var vel en av disse du mente, antar jeg. Uansett begge avviker litt fra din...

Dum slurvefeil fra min side .. Jeg gjorde det slik:

Kaller lengden som blir brukt til firkanten for x og lengden av wiren for L. Da har vi at [tex]A_{firkant} = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{17}[/tex].

Sidene i trekanten blir [tex]\frac{L - x}{3}[/tex]. Arealet av en likesidet trekant er gitt ved [tex]\frac{\sqrt{3}}{4}s^2[/tex] der s er sidelengdene. Da har vi altså at [tex]A_{trekant} = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{L - x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36}(L^2 - 2Lx + x^2)[/tex].

Legger vi sammen arealene og trekker i hop får vi at [tex]A = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{144} \cdot x^2 + \frac{\sqrt{3}}{36}L^2 - \frac{\sqrt{3}}{18}Lx[/tex]

Arealet er minst når A som funksjon av x har bunnpunkt. Deriverer A med hensyn på x og får at [tex]A^\prime(x) = \frac{9 + 4\sqrt{3}}{72}x - \frac{\sqrt{3}}{18}L[/tex].

[tex]A^\prime(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = \frac{\sqrt 3}{18}L \cdot \frac{72}{9 + 4 \sqrt 3} = \frac{4\sqrt 3}{9 + 4 \sqrt 3} \cdot L[/tex]

Så da blir forholdet mellom lengden til firkantdelen og lengden til trekantdelen altså [tex]4 \sqrt 3 \ : \ 9[/tex]

Der er'n i box Viktor Vektor...