matematikk.net

Gitt en vilkårlig trekant [tex]\triangle ABC[/tex], del hver av de tre kantene inn i tre like store deler ved å plassere to punkter på hver kant. De seks punktene som oppstår når vi gjør dette sanner en sekskant. Kall sekskanten for [tex]S[/tex]. Vis at [tex]\text{areal}\left(\triangle ABC\right)=k\cdot\text{areal}\left(S\right)[/tex] og finn [tex]k[/tex].

Ut i fra skissen min tipper jeg at alle trekantene er like store. Trekanten har 9 trekanter, og sekskanten har 6, forholdet er altså 3/2. k = 3/2.

Nå må jeg bevise at trekantene er like store.

Det er lett å bevise at AB er parallell med DG og EF (og tilsvarende for resten av kantene), så det hopper jeg over.

Siden AD og IP er parallelle, og går mellom to parallelle linjer, må de være like lange. Denne logikken kan vi bruke på alle trekantene, og arealene deres må derfor være like store.

Holder det som bevis?

Et fint logisk ressonement. Det er fint at du klarer å se sammenhengen mellom trekanten og sekskanten og bruke det til å løse oppgaven uten å måtte gå gjennom all den slitsomme regningen. Beviset ditt holder på alle måter.

Jeg vet jeg høres belærende ut, beklager for det.

Vil du komme med en oppfølger?

En regulær sekskant [tex]ABCDEF[/tex] har innskrevet en trekant [tex]ACE[/tex]

Samme som din oppgave omtrent. Vis at forholdet mellom arealene til mangekantene er 2 (eller 1/2, ettersom hvordan du ser på det).

Bruker samme fremgangsmåte som deg, og setter sentrumet [tex]S[/tex] i sekskanten, som også er sentrumet for trekanten.

Nå deler vi [tex]ABCDEF[/tex] inn i tre paralellogram [tex]ASEF\,,\,ABCS\,,\,CDES[/tex]. I hver av disse paralellogrammene vil en av kantene til [tex]ACE[/tex] fungere som en av midtlinjene til paralellogrammet, slik at trekanten overlapper halvparten av hvert paralellogram. Følgelig vil trekanten overlappe halvparten av sekskanten, og siden trekanten er innskrevet, har den ikke noe areal utenfor sekskanten. Følgelig må arealet av trekanten være nøyaktig halvparten av arealet til sekskanten.

Hva sier du? Gyldig ressonement?

Høres finfint ut.

espen180 wrote:Bruker samme fremgangsmåte som deg, og setter sentrumet [tex]S[/tex] i sekskanten, som også er sentrumet for trekanten.

Nå deler vi [tex]ABCDEF[/tex] inn i tre paralellogram [tex]ASEF\,,\,ABCS\,,\,CDES[/tex]. I hver av disse paralellogrammene vil en av kantene til [tex]ACE[/tex] fungere som en av midtlinjene til paralellogrammet, slik at trekanten overlapper halvparten av hvert paralellogram. Følgelig vil trekanten overlappe halvparten av sekskanten, og siden trekanten er innskrevet, har den ikke noe areal utenfor sekskanten. Følgelig må arealet av trekanten være nøyaktig halvparten av arealet til sekskanten.

Hva sier du? Gyldig ressonement?

Ikke for å være pirkete, men det heter parallellogram og resonnement;)

plutarco wrote:Ikke for å være pirkete, men det heter parallellogram og resonnement;)

Hehe, takk.