matematikk.net

VGS-Nøtt, mest rettet mot de som tar 1T, men kan også gjøres av de som tar R1. Den er nok for lett for alle som tar R2 (eller høyere).

Oppgaven:
Gitt en trekant der kantene har midtpunkter i [tex]P=\left(4,\frac52\right)[/tex], [tex]Q=\left(5,4\right)[/tex] og [tex]R=\left(3,\frac72\right)[/tex], finn hjørnene i trekanten.

Ligner på en av oppgavene i årets andre runde av abelkonkurransen

Sjekket nettopp Abelkonkurransen-siden. Det stemmer.

Hva mener du med å finne hjørnene? Finne vinkelene?

fiskemannen wrote:Hva mener du med å finne hjørnene? Finne vinkelene?

Han mente nok koordinatene.

Jeg trengte et lite hint fra Abel-fasiten for å greie den :/

Men jeg greide det hvertfall. To ligningssett med tre ukjente, og vips.

A(2, -1/10)
B(6, 51/10)
C(4, 29/10)

Nei, hvordan det? Kan du vise utregningen din? (Feil på min side forresten, det skulle være 7/2, ikke 7/5.

Det går fint ann å løse den oppgaven du gav også. Trekanten ser helt fin ut i GeoGebra.

Her er det jeg gjorde:

[tex]A(x_1, y_1)\\B(x_2, y_2)\\C(x_3, y_3)\\[/tex]
R er mellom A og C.
P er mellom A og B.
Q er mellom B og C.

Og gjennomsnittet av koordinatsummene gir meg midtpunktet, som jeg har.

Jeg tar x og y-verdiene hver for seg: (Med [tex]P_x[/tex] mener jeg x-koordinaten til P)
[tex]x_1+x_2=2P_x\\x_1+x_3=2R_x\\x_2+x_3=2Q_x[/tex]

[tex]y_1+y_2=2P_y\\y_1+y_3=2R_y\\y_2+y_3=2Q_y[/tex]

Så løste jeg begge ligningene og fikk ut alle x- og y-verdier.

Funker det, men det går an å gjøre det lettere ved å vise at [tex]\vec{AB}=2\vec{QR}[/tex] (hvis P er midtpunktet på AB) osv.

Kan du forklare den metoden? Skjønte det ikke helt.

Man kan vise ved vektorregning at sidelengdene til trekanten laget av midtpunktene er halvparten så store som de tilsvarende sidene i den opprinnelige trekanten. Prøv!

Prøver å bevise det jeg:

[tex]\triangle ABC[/tex] har tre midtpunkter på sidene. P på AB, Q på AC og R på BC.

Påstanden er at [tex]2\vec{QP}=\vec{CB}[/tex]

[tex]\vec{QP} = -\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{CB} = -\vec{AC}+\vec{AB}[/tex] som kan omformes til [tex]2\vec{QP}=\vec{CB}[/tex]

Ladet med min nye kunnskap løser jeg oppgaven på ny:

[tex]\vec{OA} = \vec{OQ}+\vec{PR} = [5, 4] + [-1, 1] = [4, 5][/tex]

[tex]\vec{OB} = \vec{OQ}-\vec{PR} = [5, 4] - [-1, 1] = [6, 3][/tex]

[tex]\vec{OC} = \vec{OR}+\vec{QP}=[3, \frac{7}{2}]+[-1, -\frac{3}{2}] = [2, 2][/tex]

Jepp.