matematikk.net

Gitt [tex]z_1,z_2,z_3 \in \mathbb{C}[/tex].

Viis at [tex]z_1,z_2,z_3[/tex] danner en likesidet trekant i det kompleks plan hvis og bare hvis [tex]z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1z_2 + z_2z_3 + z_1z_3[/tex]

edit: Sorry, endret skrivefeil. z_1z_2 til z_2z_3

Dette er ekvivalent med at [tex](z_1-z_2)^2+(z_2-z_3)^2+(z_3-z_1)^2=0[/tex].
[tex]z_{t}-z_{t+1}[/tex] for heltallige t modulo 3 er vektorene for trekanten a,b og c.
Hvis trekanten er likesidet, har vi uten tap av generalitet at [tex]a=be^{\frac{\pi}{3}i}=ce^{\frac{2\pi}{3}i}[/tex]. Det følger at [tex]a^2+b^2+c^2=0[/tex].

Den andre veien fant jeg ikke akkurat nå.