matematikk.net

Hei har en oppgave fra Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, som er som følger (fritt oversatt):

Vis at i en endelig syklisk gruppe G av orden n, har likningen [tex]x^m=e[/tex] nøyaktig m løsninger x i G for alle positive heltall m som deler n.

Er litt i villrede på denne, men har en mistanke om at jeg kan benytte følgende teorem på en eller annen måte:

Theorem 6.14 (i boka): La G være en syklisk gruppe med n elementer og generert av a. La [tex]b \in G[/tex] og la [tex]b=a^s[/tex]. Da genererer b en syklisk undergruppe H av G, med [tex]n/d[/tex] elementer, hvor d er gcd(n,s).

(Tilleggspørsmål)
Hvordan får man ting skrevet i Tex til å komme på linje/høyde med vanlig tekst?

La [tex]a[/tex] være en generator for G.

Da er

[tex]G=(e,a,a^2, \cdots,a^{n-1})[/tex].

La [tex]x^m=e[/tex].

Sett [tex]x=a^s[/tex] for en [tex]s\in [0,1,\cdots,n-2,n-1][/tex]:

[tex](a^s)^m=e \Rightarrow a^{ms}=e[/tex], så [tex]ms=nk\Rightarrow s=\frac{nk}{m}[/tex] der [tex]k\in [0,1,\cdots,m-2,m-1][/tex].

Dermed er løsningene av ligningen:

[tex]x=a^{s}=a^{\frac{nk}{m}}[/tex] med unike verdier for alle [tex]k\in [0,1,\cdots,m-2,m-1][/tex],

altså er det eksakt [tex]m[/tex] løsninger av ligningen.

Takk for svaret, fikk forresten hjelp til en generalisering av denne oppgaven som sier at antall løsninger av likningen er gcd(m,n) uavhengig om m deler n eller ikke. Slenger med dette her.

La [tex]gcd(m,n)=d[/tex]. Da kan vi skrive

[tex]m=m^\prime d \\ n = n^\prime d \\ gcd(m^\prime,n^\prime)=1[/tex]

Setter som tidligere [tex]x^m=(a^s)^m=a^{sm}=e[/tex].

Nå har vi at [tex]n|sm \Rightarrow n^\prime d|sm^\prime d \Rightarrow n^\prime|sm^\prime \Rightarrow n^\prime|s [/tex]

Dette medfører så

[tex]a^{sm} = a^{kn^\prime m} = a^{\frac{knm}d}, \ k\in [0,1,\cdots,,d-1][/tex]

Dette viser at likningen [tex]x^m=e[/tex] har nøyaktig gcd(m,n) løsninger, og løsningen av oppgaven over følger naturlig.