matematikk.net

Oppgave 9.3.16 fra Hass-Thomas-Weir, 'University Calculus'.

"Arealet av området som ligger inni kardioidekurven r = ( cos(A) + 1 ) og utenfor sirkelen r = cos(A) er ikke

0.5 * [symbol:integral] (cos(A) + 1)² - cos²(A) dA = pi
[nedre integrasjonsgrense er 0, og øvre er 2pi]

Hvorfor ikke? Hva er arealet? Begrunn svaret."

I utgangspunktet synes jeg ikke r = cos(A) så mye ut som en sirkel. Jeg prøvde å kvadrere begge sider av likheten, og endte opp med enhetsformelen sin²(A) + cos²(A) = 1. Kan jeg tolke r = cos(A) som en sirkel om origo med radius 1?

Videre har jeg da regnet ut integralet nevnt ovenfor men med 1 istedenfor cos²(A) som siste ledd i integranden. Da får jeg arealet lik pi/2.

Kommentarer? Har jeg gjort rett?

Lang historie kort - hjertekurva di har areal;

[tex]A_1={1\over 2}\int_0^{2\pi}(\cos(\theta)+1)^2\,d\theta[/tex]

den andre kurva er en sirkel med sentrum i [tex]\,({1\over 2},\,0)[/tex]
og [tex]\,R={1\over 2}[/tex]
den areal, [tex]\,A_2=\frac{\pi}{4}[/tex]

da er ønska areal,[tex]\, A = A_1 - A_2[/tex]

med forbehold om feil...dette gikk på 5 min.

hvorfor er ikke arealet til r = cos(A) lik 0.5 * ∫ cos²(A) dA fra 0 til 2[symbol:pi] ?

edit: skjønte det selv. r = cos(A) gir en hel sirkel allerede fra 0 til pi.