matematikk.net

Dette skal være en vanskelig en og trenger hjelp, setter som regel pris på svar;

Tredjegradspolynomet P(x) har et toppunkt i (-1,17) og et vendepunkt i (1,1).

FInn funksjonsuttrykket?

Kall polynomet ditt P(x)=ax^3+bx^2+cx+d. I et toppunkt må den deriverte være 0. Hva er spesielt med vendepunktet? Hvordan kan vi oversette opplysninga om at funksjonen går gjennom punktet (-1,17)?

Ellers er oppgava en gjenganger og gir du opp vil du nok finne løsning med et søk her på forumet.

Ser ut som en gøy oppgave, så jeg prøver meg. Hopp over dette svaret hvis du vil prøve selv.

Jeg begynner med et tredjegradspolynom, og første- og andrederiverte for å få litt bedre oversikt.
[tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\P\prime(x)=3ax^2+2bx+c\\P\prime\prime(x)=6ax+2b[/tex]

Toppunktet gir meg:
[tex]P(-1)=-a+b-c+d= 17[/tex] og [tex]P\prime(-1) =3a-2b+c=0[/tex]

Vendepunktet gir meg:
[tex]P\prime\prime(1)=6a+2b=0[/tex] og [tex]P(1) =a+b+c+d = 1[/tex]

Samler alle ligningene:
[tex]\begin{align*}I: &-a+b-c+d= 17\\II: &3a-2b+c=0 \\ III: &6a+2b=0\\IV: &a+b+c+d = 1\end{align*}[/tex]

Jeg slenger ligningene inn i Quickmath og får ut:
a = 1
b = -3
c = -9
d = 12

[tex]P(x) = x^3-3x^2-9x+12[/tex]

Det var en fantastisk måte.

Måten jeg brukte var ;

[tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d=1[/tex] (f(1) for vendepunktet)

[tex]P``(x)=6ax+2b[/tex]
[tex]6ax=-2b[/tex]
[tex]x=\frac{-2b}{6a}[/tex] vi vet at vendepunktet har x=1, hva må b og a være da?

[tex]1=\frac{-2 \cdot -3}{6 \cdot 1}[/tex]

b=-3 og a=1

c finner vi ved ;

[tex]P`(x)=3ax^2+2bx+c=0[/tex] (for toppunkt for x=-1)

[tex]P`(x) 3 \cdot 1 \cdot (-1)^2+2 \cdot (-3) \cdot (-1)=-c[/tex]

c=-9

d finner vi;

[tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d=1[/tex](vendepunkt x=1)
[tex]P(x)=1 \cdot 1^3+(-3) \cdot 1^2+(-9) \cdot 1-1=-d[/tex]

d=12

Men jeg likte måte til gommle