matematikk.net

Vis at polynomet

[tex]x^{9999}+x^{8888}+x^{7777} +\,\cdots\, + x^{2222}+x^{1111}+1 [/tex]

er delelig med

[tex]x^9+x^8+x^7+\,\cdots\, +x^2+x+1[/tex]

La [tex]P(x):=x^9+x^8+...+1[/tex], og [tex]Q(x):=P(x^{1111})[/tex]

Vi har at alle de ni nullpunktene til det P polynomet er [tex]\rm{cis} ( \frac{2n\pi}{10} ):=\zeta^n[/tex] for heltall [tex]n \not = 0 (\rm{mod}10)[/tex] (unike nullpunkt for unike heltall [tex]n[/tex] modulo 10), med andre ord er [tex]P(\zeta^n)=0[/tex] for alle [tex]n \not = 0 (\rm{mod}10)[/tex].

Hvis vi kan vise at [tex]\zeta^n [/tex]også er nullpunkt i [tex]Q[/tex], er vi ferdige, for da er [tex]P[/tex] en faktor i [tex]Q[/tex].
[tex]Q(\zeta^n)=P(\zeta^{1111n})[/tex]. Nå er [tex]1111n \equiv n (\rm{mod}10) \Rightarrow Q(\zeta^n)=P(\zeta^n)=0[/tex] for alle [tex]n \not = 0 (\rm{mod}10)[/tex].

Føler jeg bare må kommentere her:

Fin og kompakt løsning.

Oppgaven fant jeg forresten i en russisk bok. Der er det presentert to ulike løsninger. Den ene er essensielt den samme som din mens den andre er mer direkte om jeg ikke husker feil. Når man først har innsett at [tex]x^9+x^8+\,\cdots\,+x+1=\frac{x^{10}-1}{x-1}[/tex] er vel egentlig resten ganske rett frem:)