matematikk.net

Bevis Pick's teorem som sier at hvis et polygon er tegnet inn i et koordinatsystem hvor hjørnene har heltallige koordinater, da er

[tex]A=\frac{B}{2}+I-1[/tex]

hvor A er arealet, B er antall heltallige koordinater på omkretsen og I er antall indre heltallige koordinater.

Deler opp polygonet i trekanter, hver med areal [tex]\frac{1}{2}[/tex] slik at hver trekant har nøyaktig 3 heltallskoordinater på omkretsen og ingen indre heltallskoordinater. Da blir det et spørsmål om kombinatorikk for å telle antallet slike trekanter. Kan vises ved induksjon at det er [tex]B+2(I-1)[/tex] slike trekanter. [tex]\Rightarrow A=\frac{1}{2}(B+2(I-1))[/tex]

plutarco: Formelens additive egenskaper er ganske åpenbare*). Noe som ikke er like åpenbart er at den oppdelingen du beskriver alltid er mulig.

Hvis du klarer å bevise påstanden din plutarco, hadde løsningen vært veldig fin. Jeg brukte imidlertidig en litt mer komputasjonell metode, og fikk bruk formelen tidligere lagt ut på forumet:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=19441

En endelig triangulering er mulig (polygonet er som mengde lukket og begrenset i R^2 og dermed kompakt fra Heine-Borel).

En videre inndeling er også åpenbart mulig.

Jeg ser jo at det mangler bevis for at arealet av slike trekanter uten heltallskoord., hverken indre eller på randen, har areal 1/2. Må tenke litt mer på hvordan formulere bevis...