matematikk.net

Det finnes mange rettvinklede trekanter hvor alle sidene er heltall. Finn 4 slike trekanter ( ikke formlike ) og vis at de er rettvinklet.
Jeg har prøvd å finne noen med hele tall men bare funnet denne foreløpig: 80^2+ 60^2= 100^2

Kan noen forklare meg åssen jeg finner, står jo at det finnes mange. Det må jo finnes en enkel måte?

[tex]3^2+4^2=5^2[/tex]

Du kan jo f.eks prøve med en rettvinklet trekant der differansen mellom hypotenusen og en av katetene er 1:

[tex]x^2+y^2=z^2 \Rightarrow x^2=z^2-y^2=(z-y)(z+y)[/tex] La

[tex]z-y=1[/tex] og prøv deg frem med to heltall y og z=y+1 slik at y+z=2y+1 er et odde kvadrattall. F.eks 7^2=49=24+25. Da får vi

[tex]7^2+24^2=25^2[/tex]

Jepp, det kan bevises at alle positive heltallige løsninger til [tex]x^2+y^2=z^2,[/tex] hvor [tex]gcd(x,y,z)=1[/tex] er på formen [tex]x=2rs[/tex], [tex]y=r^2-s^2[/tex], [tex]z=r^2+s^2[/tex] for positive heltall [tex]r[/tex] og [tex]s[/tex] og det er enkelt å verifisere at iallefall alle tall på den formen er løsninger.

Eventuelt hvis du bare vil generere flere løsninger kan du bruke at hvis [tex]a,b[/tex] og [tex]c[/tex] er positive heltallige løsninger til [tex]a^2+b^2=c^2[/tex], så er [tex]ad,bd[/tex] og [tex]cd[/tex] også løsninger for ethvert positivt heltall [tex]d[/tex].

Men da blir vel trekanten formlik?

Hvis du bruker den enkle måten å generere løsninger på, så ja - da blir trekanten du kan konstruere formlik med basisløsningen.

de tallene 3^2 +4^2= 5^ er jo formlik med de tallene jeg skrev. Jeg må ha trekanter som ikke er formlike. Men takk:)

Kjønte ikke så mye av den andre forklaringen jeg fikk... er ikke så god i matte..

Bare plugg inn heltallige verdier for [tex]r[/tex] og [tex]s[/tex]. F.eks er [tex]r=3[/tex] og [tex]s=7[/tex], da er [tex]x=2*3*7=42[/tex], [tex]y=7^2-3^2=40[/tex], og [tex]z=7^2+3^2=58[/tex]. Og sannelig er [tex]42^2+40^2=58^2[/tex].

Alle mulige forskjellige verdier du plugger inn for r og s vil generere forskjellige løsninger på likningen hvor de tilsvarende rettvinklede trekantene ikke er formlike.

Hvis man velger både r og s odde (eller like), får man en ikke-primitiv løsning: r=3 og s=7 gir (42,40,58), men dette kan forkortes til (21,20,29) som stammer fra r=5 og s=2. Disse er da formlike.

Man kan vise at hvis r og s er koprime og i tillegg har ulik paritet, genererer man alle primitive pytagoreiske tripler.

tusen takk alle sammen. Tror nøtta mi kjønte noe nå;)

men, kan dere forklare onklig??
takk

seloo wrote:men, kan dere forklare onklig??
takk

Klart. Hva lurer du på?

Hvis man velger både r og s odde (eller like), får man en ikke-primitiv løsning: r=3 og s=7 gir (42,40,58), men dette kan forkortes til (21,20,29) som stammer fra r=5 og s=2. Disse er da formlike.

Man kan vise at hvis r og s er koprime og i tillegg har ulik paritet, genererer man alle primitive pytagoreiske tripler.

forstor ikke jeg.
takk.