matematikk.net

Jeg har ike svaret selv, og vet ikke om en løsning finnes, men det er vel en del av nøtta da, eller?

For hvilke vektorer [tex]\vec u\neq \vec{0}[/tex] og [tex]\vec v\neq \vec{0}[/tex] er [tex]a\vec{u}+b\vec{v}\perp b\vec{u}+a\vec{v}[/tex] for en gitt [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex].

Det er ikke vanskelig å finne en ligning vektorene må tilfredstille. Bruker man at to vektorer er ortogonale hvis og bare hvis skalarproduktet er 0, kommer man med en gang fram til svaret. Vektorene vi er ute etter er bare mengden av vektorer som tilfredstiller

[tex](a\vec{u}+b\vec{v}) \cdot (b\vec{u}+a\vec{v})=0[/tex].

Joda, men du har jo egentlig ikke svart på spørsmålet. Finnes det vektorpar [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex] der vi ikke kan finne noen [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] slik at ligningen tilfredsstilles? Evt. hvilke vektorer er dette?

Eller finnes det en begrensing til [tex]a[/tex] og[tex]b[/tex] som gjør at det ikke alltid er mulig? evt. hvilken begrensing?

Alltid triviell løsning a=b=0. Vi ser derfor bort fra denne nedenfor.

Hvis [tex]\vec{u}=k\vec{v}[/tex] er [tex](a\vec{u}+b\vec{v})(b\vec{u}+a\vec{v})=(ak\vec{v}+b\vec{v})(bk\vec{v}+b\vec{v})=(ak+b)(bk+a)\vec{v}^2 [/tex]. For at dette skal bli 0 må enten ak=-b eller bk=-a.

Hvis [tex]\vec{u}\bot \vec{v}[/tex] kan vi velge [tex]a=0, b\neq 0[/tex] eller motsatt.

Hvis [tex]\vec{u}=k\vec{v}+\vec{w} [/tex] der [tex]\vec{w}\bot \vec{v}, k\neq 0, \vec{v},\vec{w}\neq \vec{0}[/tex], blir

[tex](a\vec{u}+b\vec{v})(b\vec{u}+a\vec{v})=(ak\vec{v}+a\vec{w}+b\vec{v})(bk\vec{v}+b\vec{w}+a\vec{v})=((ak+b)\vec{v}+a\vec{w})((bk+a)\vec{v}+b\vec{w})=(ak+b)(bk+a)\vec{v}^2+(ab)\vec{w}^2.[/tex]

Vi får:

[tex]a^2+ab(w^2/{(kv^2)}+(1+k^2)/k)+b^2=0.[/tex]

Løser man denne 2.gradsligningen m.h.p. a får man:

[tex]a=\frac{-b(\frac{w^2}{kv^2}+\frac{k^2+1}{k})\pm b\sqrt{{(\frac{w^2}{kv^2}+\frac{k^2+1}{k})^2}-4}}{2}[/tex]

Siden [tex]{(\frac{w^2}{kv^2}+\frac{k^2+1}{k})^2}-4>0[/tex] for alle reelle [tex]k\neq 0[/tex] og alle vektorer [tex]\vec{v}\neq 0,\vec{w}\neq 0[/tex], vil det alltid eksistere reelle a,b alik at [tex](a\vec{u}+b\vec{v})(b\vec{u}+a\vec{v})=0[/tex]

Så konklusjonen din er at (au+bv)(bu+av)=0 er mulig for alle vaktorpar u og v?

Konklusjonen er at det alltid finnes en ikke-triviell løsning for paret (a,b) ja.
PS: endra mitt forrige innlegg ganske mye..

Finfint.