matematikk.net

I xy-planet, finn den korteste avstanden mellom punktet [tex]P\left(a,\ln(a)\right)[/tex] og funksjonen [tex]f(x)=e^x[/tex].

Er vel bare å minimere avstanden d, vha derivasjon;

[tex]d(x)=d=\sqrt{(x-a)^2\,+\,(e^x-\ln(a))^2}[/tex]

[tex]d^,(x)=x+e^{2x}-e^x\ln(a)-a=0[/tex]

her kan vel brukes Newtons approksimasjonsmetode eller Lamberts
omegafunksjon.

Jeg er usikker på om dette er helt korrekt:

Vi skal finne den minste avstanden mellom funksjonene [tex]P(a) = \ln\,a[/tex] og [tex]f(x) = e^x[/tex].

Den minste avstanden mellom P og f vil være den rette linjen mellom punktene på P og f, der tangentene til funksjonene er parallelle. Dvs. stigningstallet til den deriverte i funksjonene er lik.

[tex]\left( \ln\,a \right)^\prime = \left( e^x \right)^\prime \\ \frac 1a = e^x \\ \ln(\frac 1a) = \ln\,e^x \\ -\ln\,a = x \\ 0 = x + ln\,a[/tex]

Som bare har løsning for x = 0, og a = 1. Den korteste avstanden mellom P og f er mellom punktene (0, e^0) og (1, ln 1), eller (0, 1) og (1, 0). Avstanden er da [symbol:rot] 2.

EDIT: 0 = x + ln a har uendelig mange løsninger, ja. : < Men er jeg inne på noe?

Emomilol, du tolker P som en funksjon når det er et punkt.

@Janhaa:

Kan man isolere t fra det uttrykket?

espen180 wrote:Emomilol, du tolker P som en funksjon når det er et punkt.
@Janhaa:
Kan man isolere t fra det uttrykket?

t? x mener du. Skal la seg gjøre vha, som nevnt, Lamberts omegafunksjon. Kan finne noen linker til deg. VI (dao., thmo, jeg) har regna endel på dette før. På dette forumet...

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... gafunksjon

Men nå må jeg avgårde på party...