matematikk.net

Et kvadrat er plassert med en diagonal langs x-aksen og to hjørner i punktene
(1, 0) og (3, 0). Finn volumet av legemet som fremkommer når kvadratet roteres om y-aksen.

Jeg tenker slik;

Diagonalen har lengden 2. Ved Pytagoras må da sidene i kvadratet være lik [symbol:rot] 2. Siden kvadratet skal dreies om y-aksen er det samme hvordan det står...og at man kan derfor stille opp integralet med sylinderskjell;

2 [symbol:pi] [symbol:integral] ( [symbol:rot] 2 *x dx) [0, [symbol:rot] 2]

Siden vi integrerer mellom x-verdier vil radiusen være lik x. Men svaret skal bli 8 [symbol:pi] , mes jeg får 2 [symbol:pi] [symbol:rot] 2

Hvorfor blir dette feil?

Hvordan vil du beskrive legemet som fremkommer ved omdreiningen?
Tegn arbeidstegning, og summér sylinderskall.

Dette har jeg jo gjort...

Jeg har brukt sylindershell med høyde [symbol:rot] 2 , radius x, og intervall mellom 0 og [symbol:rot] 2 .

Grunnen til at jeg integrerer mellom 0 og [symbol:rot] 2 , er at jeg lurer på om det er lov til å sette dette kvadratet hvordan en vil, siden det likevel er samme flate som snurrer rundt y-aksen. Men jeg får feil svar...så håper noen kan hjelpe meg med dette.

Rickman wrote: Jeg har brukt sylindershell med høyde [symbol:rot] 2 , radius x, og intervall mellom 0 og [symbol:rot] 2 .

[tex]V = 2\pi \int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{2}x dx = 2 \pi \sqrt{2}[/tex]

Figuren du beskriver her vil være en (tykk) sylinderskive med høyde og radius lik [symbol:rot] 2. Altså et kvadrat med hjørner i f.eks (0,0) (0,[symbol:rot]2) ([symbol:rot]2, 0) og ([symbol:rot]2, [symbol:rot]2) rotert om y-aksen.
Dette er ikke samme legeme som det spørres etter i oppgaven (en litt kantete smultring).

Det er tydeligvis ikke mulig å rotere/flytte kvadratet rundt før omdreining og samtidig beholde volumet. Dette er jo egentlig naturlig, hvis man flyttet kvadratet langt vekk fra y-aksen, ville man jo få et mye større volum etter omdreining, selv med samme areal på kvadratet (mer å sammenlikne med en kantete rokkering enn en smultring)

Tegn skisse og prøv å finne uttrykk for høyde/radius/summeringsgrenser for sylinderskallene.

Naturlig oppfølger - utvidelse av oppgaven:
Hva kan man gjøre med det opprinnelige kvadratet som skal "omdreies" uten å forandre volumet til omdreiningslegemet?

Problemet blir da at jeg ikke finner et godt utrykk for høyden av sylinderskallene

Ja, å finne et uttrykk for høydene er det vanskelige her.
Hint: prøv å splitte opp grensesummen i to integraler med høydevariasjoner som er lettere å beskrive.

Har lagt bort regnesakene for kvelden, og lar eksamen komme nå.

Hmm...kan dette være riktig;

4 [symbol:pi] [symbol:integral] (x * ( [symbol:rot] 2) x) dx [1,2] +
4 [symbol:pi] [symbol:integral] (x * -( [symbol:rot] 2) x dc [2,3]

(Ved å gange integralene her med 2, tenker jeg at jeg summer det som befinner seg under i tillegg til det over, og at høyden er gitt ved [symbol:rot] 2 * x

Smart trekk å dele figuren i to og se på bare den øvre delen av kvadratet ganget med 2! Dette hadde jeg ikke tenkt på, og det forenkler jo tankegangen betraktelig.
Jeg vil si høydene i integralene kan uttrykkes ved h1 = x-1 og h2 = -x+3
(to enkle lineære likninger for de rette diagonallinjene).
Etter litt rask fifling og fofling får man da det rette svaret V = 8 [symbol:pi]