matematikk.net

Sliter med å få til denne oppgaven:

[tex]f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)[/tex]

a) Finn f'(x) - gikk fint, ender opp med
[tex]\frac {1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]


b) [tex]\int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{dx}[/tex]

ut i fra oppgave a) her bør det vel vi vel kunne si

[tex]\int_{0}^{1} \frac {1}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{dx} \,=\, \left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]_{0}^{1} \,= \, \ln \left(1+\sqrt{2}\right) - 0\,=\, \ln\left(1+\sqrt{2}\right)[/tex]

Men jeg skulle gjerne likt å finne dette integralet selv, ikke bare si at det er sånn fordi [symbol:integral] f'(x) = f(x) og siden det er et bestemt integral så spiller det ingen rolle hva c er. Har prøvd med substitusjon bade det som står inni kvadratroten og hele kvadratroten men ender opp med 1/x du og slikt.

Noen som kan hjelpe - er jeg helt lost?

Bruk de kjente funksjonene [tex]\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, [/tex]og [tex]\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/tex], samt identiteten [tex]\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1[/tex], og at [tex]\frac{\rm{d^2}\sinh(x)}{\rm{d}x^2}=\frac{\rm{d}\cosh(x)}{\rm{d}x}=\sinh(x)[/tex]

Legg merke til at funksjonen har sammenheng med eulers formel: [tex]e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)[/tex].

Vi kan vise at [tex]\sinh(ix)=i\sin(x)[/tex], og at [tex]\cosh(ix)=\cos(x)[/tex].

sett x = sinh(u) og u = arcsinh(x)
da er
dx = cosh(u) du

dessuten er :

[tex]\sinh^2(u)+1=\cosh^2(u)[/tex]

---------------------------
prøv sjøl nå...

[tex]I=\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx[/tex]

OK....

De funksjonene, identitetene, notasjonen og gudene vet hva som blir betegnet som "kjente" er noe jeg ikke har vært borti, så hvis jeg setter meg ned og knoter med dette går det vel helst filleveien.

Det er ikke mulig da, siden denne oppgaven er tatt i fra en R2-bok at man skal bruke a) til å ja finne I?


Takker uansett for hjelpen

andhou wrote:OK....

De funksjonene, identitetene, notasjonen og gudene vet hva som blir betegnet som "kjente" er noe jeg ikke har vært borti, så hvis jeg setter meg ned og knoter med dette går det vel helst filleveien.

Det er ikke mulig da, siden denne oppgaven er tatt i fra en R2-bok at man skal bruke a) til å ja finne I?


Takker uansett for hjelpen

Gitt den første oppgaven, er det nok bare meningen at du skal konkludere det du har gjort, og vise til analysens fundamentalteorem.
Det er ikke vits å bruke masse tid på å regne ut dette når svaret er gitt.
(men kanskje god trening)

Ja, det var det jeg tenkte og, for såvidt meg bekjent er dette ikke pensum :p


Uansett, jeg forsøkte og kom frem til rett svar til slutt, men jeg er noe usikker på om jeg har gjort feil (noe som ikke ville forundret meg)

[tex] I=\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \rm{d}x[/tex]
innfører x=sinh(u) u=arcsinh(x) og dx=cosh(u) du (uten at jeg klarer å utdype hvorfor:P)
[tex] =\int \frac{1}{\sqrt{xsinh^2+1}}\rm{d}x [/tex]

[tex]sinh^2(u)+1=cosh^2(u)[/tex]
[tex]I=\int\frac{1}{\sqrt{cosh^2}} \rm{d}x[/tex]
[tex]I=\int \rm{d}u=u + C = arcsinh(x) + C = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) +C[/tex]

Ja, nesteN.

husk at:
[tex]\sinh^2(u)+1=\cosh^2(u)[/tex]

[tex]x=\sinh(u)[/tex]
[tex]dx=\cosh(u)\,du[/tex]

[tex]I=\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\int\frac{\cosh(u)\,du}{\sqrt{1+\sinh^2(u)}}\int\frac{\cosh(u)\,du}{\cosh(u)}=\int\,du=u\,+\,C=\text arcsinh(x)\,+\,C=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\,+\,C[/tex]

Ved definisjonen av [tex]cosh(x)[/tex] og [tex]sinh(x)[/tex] som jeg skrev ovenfor kan du bevise at de er hverandres deriverte.