matematikk.net

Flautt sprøsmål, meeen. Sit og skal finne det boka kallar for ortogonale trajektorar til kurver av familien y = mx..derivasjon av denne familien gir jo dy/dx = m og såleis skulle då linjer som står normalt på desse ha negatvit resiprokt stigningstal (-1/m)..ved integrasjon av dette får eg slett ikkje dei ortogonale kurvene til å høyre til x^2 + y^2 = c som naturleg nok må vere svaret..kva gjer eg feil?

ved integrasjon av dette får eg slett ikkje dei ortogonale kurvene til å høyre til x^2 + y^2 = c som naturleg nok må vere svaret..kva gjer eg feil?

Hva mener du her?

Ortogonale trajektorer hadde jeg faktisk ikke hørt om før, men tror jeg forstår konseptet fra eksempelet ditt samt wikipedia-artikkelen

Hvilken definisjon gir boka?

Uansett, her er et hint:
[tex] y = mx \Rightarrow m = \frac yx[/tex]

La [tex]f(x,y)=\frac{y}{x}[/tex]. Vi skal finne de ortogonale trajektorene til familien av kurver gitt ved [tex]f(x,y)=m[/tex]. Derfor må vi løse den partielle diffligningen [tex]\nabla f \cdot \nabla g =0[/tex].

[tex]\nabla f=<\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}>=<-\frac{y}{x^2},\frac{1}{x}>\,\![/tex] så [tex]g_ {x}-\frac{x}{y}g_ {y}=0[/tex]. Problemet blir å finne de karakteristiske kurvene til [tex]g(x,y)[/tex], dvs. de kurvene der g er konstant, så vi ønsker å finne et utrykk for [tex]\Delta g(x,y)=g(x+\Delta x, y+ \Delta y)-g(x,y)[/tex]. Taylorutvikling til første orden i to variable gir at [tex]\Delta g = g_ {x}\Delta x + g_ {y} \Delta y=(\frac{x}{y}\Delta x + \Delta y )g_ {y}[/tex]. Vi krever at [tex] \Delta g =0 [/tex] eller [tex]\frac{x}{y}\Delta x + \Delta y =0[/tex] som gir [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{x}{y}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}[/tex] med løsning [tex]x^2+y^2=m[/tex] for m konstant. Disse er derfor de ortogonale trajektorene til familien av rette linjer gjennom origo.