Page 1 of 1
Integral og rekke
Posted: 14/12-2008 16:16
by fraha
Hvordan går man fram for å løse slike problem?
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \int_{n}^{n+1} \frac{1}{1+x^2}dx[/tex]
Svaret skal blir [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].
Posted: 14/12-2008 16:28
by Andrina
Hva med å løse integralet først? Hva er en antiderivert til 1/(1+x^2)??
Posted: 14/12-2008 20:22
by Bogfjellmo
Eventuelt være litt lur. Forsøk å skriv ut et par ledd av summen (uten å evaluere integralet), og se om du kan skrive summen på en enklere måte.
Posted: 14/12-2008 21:35
by fraha
Takk, forstod det nå. Alle leddene utenom det første og siste kan elimineres.
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{k} \int_{n}^{n+1} \frac{1}{1+x^2}dx = (\arctan \ 1 -\arctan \ 0) + (\arctan \ 2-\arctan \ 1) + ... + (\arctan \ (k+1)-\arctan \ k) = \arctan \ (k+1) -\arctan \ 0 \\ \lim_{k\to\infty}\ \arctan(k+1) = \frac{\pi}{2}[/tex]