Har ikke tid til å lage løsningsforslag i dag pga fysikk tentamen, men tar det i morgen.
Forum kvalitet:
Bra kvalitet:
http://bildr.no/view/302856
http://bildr.no/view/302857
http://bildr.no/view/302858
Heildagsprøve R2 (Juletentamen)
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Andreas345
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Hei hei, her er juletentamenen som lovet!
Har ikke tid til å lage løsningsforslag i dag pga fysikk tentamen, men tar det i morgen.
Forum kvalitet:
Bra kvalitet:
http://bildr.no/view/302856
http://bildr.no/view/302857
http://bildr.no/view/302858
Har ikke tid til å lage løsningsforslag i dag pga fysikk tentamen, men tar det i morgen.
Forum kvalitet:
Bra kvalitet:
http://bildr.no/view/302856
http://bildr.no/view/302857
http://bildr.no/view/302858
Last edited by Andreas345 on 15/12-2008 08:06, edited 2 times in total.
-
Andreas345
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Her er løsningsforslaget.
Er som sagt et løsningsforslag, så si i fra hvis jeg har gjort noe feil.
Del 1. Uten hjelpemidler.
Oppgave 1.
a)
1) [tex] \int(6x^2+8x+3)dx \Rightarrow 2x^3+4x^2+3x+C[/tex]
2) [tex]\int \frac {1}{2}x+\frac {3}{x}dx \rightarrow \int \frac {1}{2}x+3\cdot \frac {1}{x} dx\Rightarrow \frac {1}{4}x^2+3\cdot ln |x| + C [/tex]
3) [tex]\int 4e^{2x}+3\cdot 2^x dx \Rightarrow 2e^{2x}+\frac {3}{ln2}\cdot 2^x + C[/tex]
b)
1) [tex]\int_{1}^{3}\big (2x+3 \big )dx \Rightarrow \big [x^2+3x \big ]_{1}^{3}=(3^3+3)\cdot 3 - (1^2+3\cdot 1)=18-4=14[/tex]
2) [tex]\int_{0}^{1}\big (4e^{2x} \big )dx \Rightarrow \big [2e^{2x} \big ]_{0}^{1}=2e^{2\cdot 1}-2e^{2\cdot 0}=2e^2-2[/tex]
3)[tex]\int_{1}^{e}\big (1+\frac {2}{x} \big )dx \Rightarrow \big [x+2 \cdot ln|x| \big ]_{1}^{e}=e+2\cdot ln e - (1+2\cdot ln 1)=e+2-1=e+1[/tex]
Oppgave 2.
[tex]f(x)=-3+6sin(\pi x)[/tex] ,[tex]x \in [0,4][/tex]
a) Amplituden er |6|, Perioden er [tex]\frac {2\pi}{\pi}=2[/tex] og likevektslinja = -3
b) Den største verdien til f er [tex]-3+6 \cdot 1=3[/tex]
x har denne verdien når:
[tex]\big (\pi x \big)=\frac {\pi}{2}+n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=\frac {1}{2}+n\cdot 2[/tex]
[tex]L: x=\frac {1}{2} \vee x=\frac {5}{2}[/tex]
c) Den minste verdien til f er [tex]-3+6\cdot -1=-9[/tex]
x har denne verdien når:
[tex]\big (\pi x \big)=\frac {3 \pi}{2}+n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=\frac {3}{2}+n\cdot 2[/tex]
L:[tex]x=\frac {3}{2}\vee x=\frac {7}{2}[/tex]
c)
[tex]-3+6sin(\pi x)=0[/tex]
[tex]sin(\pi x)=\frac {1}{2}[/tex]
[tex]\pi x=\frac {\pi}{6}+n\cdot 2\pi \vee x=\pi - \frac {\pi}{6}+n \cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=\frac {1}{6}+n \cdot 2 \vee x=\frac {5}{6}+n \cdot 2[/tex]
L:[tex]x=\frac {1}{6} \vee x=\frac {13}{6} \vee x=\frac {5}{6} \vee x=\frac {17}{6}[/tex]
Oppgave 3
1) For å finne punkt a, tenkte eg at x koordinaten måtte være 0, ergo må toppunktet være : [tex]A\big (0,\large f (0) \big )[/tex]
[tex]\large f (0)=sin 0 + cos 0 = 1[/tex]
Punkt A har koordinatene [tex](0,1)[/tex]
Punkt C og E er jo nullpunktene til funksjonen, så:
[tex]sin(x)+cos(x)=0[/tex]
[tex]sin(x)=-cos(x)[/tex] <-- Deler på cos x
[tex]tan x=-1[/tex]
[tex]x=-\frac {\pi}{4}+n\cdot \pi[/tex]
L: [tex]x=\frac {3\pi}{4} \vee x= \frac {7\pi}{4}[/tex]
Punkt C har koordinatene: [tex]\big (\frac {3\pi}{4},0 \big )[/tex]
Punkt E har koordinatene: [tex]\big (\frac {7\pi}{4},0 \big )[/tex]
2) For å finne topp og bunnpunktene må man derivere funksjonen.
[tex]\large f \prime(x)=cos(x)-sin(x)[/tex]
[tex]cos(x)-sin(x)=0[/tex]
[tex]cos(x)=sin(x)[/tex] <-- Deler på cos x
[tex]tan(x)=1[/tex]
[tex]x=\frac {\pi}{4}+n\cdot \pi[/tex]
L:[tex]x=\frac {\pi}{4} \vee x= \frac {5\pi}{4}[/tex]
Y koordinaten til toppunktet til B blir:
[tex]\large f(\frac {\pi}{4})=sin(\frac {\pi}{4})+cos(\frac {\pi}{4})=\frac {sqrt 2}{2}+\frac {sqrt {2}}{2}=\frac {\cancel {2}\cdot sqrt 2}{\cancel 2}=sqrt 2[/tex]
B har koordinatene [tex](\frac {\pi}{4}, sqrt 2)[/tex]
Ut i fra dette vet vi at amplituden vil være [tex]|sqrt 2|[/tex]
Så bunnpunktet D har koordinatene: [tex]\big (\frac {5\pi}{4},-\sqrt 2 \big)[/tex]
Del 2. Med hjelpemidler:
Oppgave 4.
1)
[tex]sin(x)=-\frac {1}{2}[/tex]
[tex]x=-\frac {\pi}{6}+n \cdot 2\pi \vee x=\pi -(-\frac {\pi}{6})+n\cdot 2\pi[/tex]
L: [tex]x=\frac {11}{6} \vee x=\frac {7\pi}{6}[/tex]
2)
[tex]2cos(x)-\sqrt 2=0[/tex]
[tex]cos(x)=\frac {sqrt 2}{2}[/tex]
[tex]x=\frac {\pi}{4}+n\cdot 2\pi \vee x= -\frac {\pi}{4}+n\cdot 2\pi [/tex]
L:[tex]x=\frac {\pi}{4} \vee x=\frac {7\pi}{4}[/tex]
Gir meg her for nå..tar resten senere
Er som sagt et løsningsforslag, så si i fra hvis jeg har gjort noe feil.
Del 1. Uten hjelpemidler.
Oppgave 1.
a)
1) [tex] \int(6x^2+8x+3)dx \Rightarrow 2x^3+4x^2+3x+C[/tex]
2) [tex]\int \frac {1}{2}x+\frac {3}{x}dx \rightarrow \int \frac {1}{2}x+3\cdot \frac {1}{x} dx\Rightarrow \frac {1}{4}x^2+3\cdot ln |x| + C [/tex]
3) [tex]\int 4e^{2x}+3\cdot 2^x dx \Rightarrow 2e^{2x}+\frac {3}{ln2}\cdot 2^x + C[/tex]
b)
1) [tex]\int_{1}^{3}\big (2x+3 \big )dx \Rightarrow \big [x^2+3x \big ]_{1}^{3}=(3^3+3)\cdot 3 - (1^2+3\cdot 1)=18-4=14[/tex]
2) [tex]\int_{0}^{1}\big (4e^{2x} \big )dx \Rightarrow \big [2e^{2x} \big ]_{0}^{1}=2e^{2\cdot 1}-2e^{2\cdot 0}=2e^2-2[/tex]
3)[tex]\int_{1}^{e}\big (1+\frac {2}{x} \big )dx \Rightarrow \big [x+2 \cdot ln|x| \big ]_{1}^{e}=e+2\cdot ln e - (1+2\cdot ln 1)=e+2-1=e+1[/tex]
Oppgave 2.
[tex]f(x)=-3+6sin(\pi x)[/tex] ,[tex]x \in [0,4][/tex]
a) Amplituden er |6|, Perioden er [tex]\frac {2\pi}{\pi}=2[/tex] og likevektslinja = -3
b) Den største verdien til f er [tex]-3+6 \cdot 1=3[/tex]
x har denne verdien når:
[tex]\big (\pi x \big)=\frac {\pi}{2}+n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=\frac {1}{2}+n\cdot 2[/tex]
[tex]L: x=\frac {1}{2} \vee x=\frac {5}{2}[/tex]
c) Den minste verdien til f er [tex]-3+6\cdot -1=-9[/tex]
x har denne verdien når:
[tex]\big (\pi x \big)=\frac {3 \pi}{2}+n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=\frac {3}{2}+n\cdot 2[/tex]
L:[tex]x=\frac {3}{2}\vee x=\frac {7}{2}[/tex]
c)
[tex]-3+6sin(\pi x)=0[/tex]
[tex]sin(\pi x)=\frac {1}{2}[/tex]
[tex]\pi x=\frac {\pi}{6}+n\cdot 2\pi \vee x=\pi - \frac {\pi}{6}+n \cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=\frac {1}{6}+n \cdot 2 \vee x=\frac {5}{6}+n \cdot 2[/tex]
L:[tex]x=\frac {1}{6} \vee x=\frac {13}{6} \vee x=\frac {5}{6} \vee x=\frac {17}{6}[/tex]
Oppgave 3
1) For å finne punkt a, tenkte eg at x koordinaten måtte være 0, ergo må toppunktet være : [tex]A\big (0,\large f (0) \big )[/tex]
[tex]\large f (0)=sin 0 + cos 0 = 1[/tex]
Punkt A har koordinatene [tex](0,1)[/tex]
Punkt C og E er jo nullpunktene til funksjonen, så:
[tex]sin(x)+cos(x)=0[/tex]
[tex]sin(x)=-cos(x)[/tex] <-- Deler på cos x
[tex]tan x=-1[/tex]
[tex]x=-\frac {\pi}{4}+n\cdot \pi[/tex]
L: [tex]x=\frac {3\pi}{4} \vee x= \frac {7\pi}{4}[/tex]
Punkt C har koordinatene: [tex]\big (\frac {3\pi}{4},0 \big )[/tex]
Punkt E har koordinatene: [tex]\big (\frac {7\pi}{4},0 \big )[/tex]
2) For å finne topp og bunnpunktene må man derivere funksjonen.
[tex]\large f \prime(x)=cos(x)-sin(x)[/tex]
[tex]cos(x)-sin(x)=0[/tex]
[tex]cos(x)=sin(x)[/tex] <-- Deler på cos x
[tex]tan(x)=1[/tex]
[tex]x=\frac {\pi}{4}+n\cdot \pi[/tex]
L:[tex]x=\frac {\pi}{4} \vee x= \frac {5\pi}{4}[/tex]
Y koordinaten til toppunktet til B blir:
[tex]\large f(\frac {\pi}{4})=sin(\frac {\pi}{4})+cos(\frac {\pi}{4})=\frac {sqrt 2}{2}+\frac {sqrt {2}}{2}=\frac {\cancel {2}\cdot sqrt 2}{\cancel 2}=sqrt 2[/tex]
B har koordinatene [tex](\frac {\pi}{4}, sqrt 2)[/tex]
Ut i fra dette vet vi at amplituden vil være [tex]|sqrt 2|[/tex]
Så bunnpunktet D har koordinatene: [tex]\big (\frac {5\pi}{4},-\sqrt 2 \big)[/tex]
Del 2. Med hjelpemidler:
Oppgave 4.
1)
[tex]sin(x)=-\frac {1}{2}[/tex]
[tex]x=-\frac {\pi}{6}+n \cdot 2\pi \vee x=\pi -(-\frac {\pi}{6})+n\cdot 2\pi[/tex]
L: [tex]x=\frac {11}{6} \vee x=\frac {7\pi}{6}[/tex]
2)
[tex]2cos(x)-\sqrt 2=0[/tex]
[tex]cos(x)=\frac {sqrt 2}{2}[/tex]
[tex]x=\frac {\pi}{4}+n\cdot 2\pi \vee x= -\frac {\pi}{4}+n\cdot 2\pi [/tex]
L:[tex]x=\frac {\pi}{4} \vee x=\frac {7\pi}{4}[/tex]
Gir meg her for nå..tar resten senere
-
Andreas345
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Forumet var nede i går.. så fortsetter nå.
2)
[tex]2cos(x)-\sqrt 2=0[/tex]
[tex]cos(x)=\frac {sqrt 2}{2}[/tex]
[tex]x=\frac {\pi}{4}+n\cdot 2\pi \vee x= -\frac {\pi}{4}+n\cdot 2\pi [/tex]
L:[tex]x=\frac {\pi}{4} \vee x=\frac {7\pi}{4}[/tex]
b)
1) [tex]2sin \big (\frac {\pi}{3}x \big ) + sqrt 3=0[/tex]
[tex]sin \big (\frac {\pi}{3}x \big )=- \frac {sqrt 3}{2}[/tex]
[tex]\frac {\pi}{3}x=-\frac {\pi}{3}+n\cdot 2\pi \vee \frac {\pi}{3}x=\pi -(-\frac {\pi}{3})+n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=-1+6n \vee x=4+6n[/tex]
L:[tex]x=5 \vee x=4[/tex]
2)
[tex]sin \big (\frac {\pi}{6}x \big )-\sqrt {3}cos \big (\frac {\pi}{6}x \big )=0[/tex] <-- Deler på [tex]cos \big (\frac {\pi}{6}x \big )[/tex]
[tex]tan\big (\frac {\pi}{6}x \big )=\sqrt {3}[/tex]
[tex]\frac {\pi}{6}x=\frac {\pi}{3}+n\cdot \pi[/tex]
[tex]x=2+6n[/tex]
L: x=2
c)
1)
[tex]100 sin^2(x)-10sin(x)-6=0[/tex]
Setter u=sin(x)
[tex]100u^2-10u-6=0[/tex]
*Annengradsformelen*, (ja jeg er lat).
[tex]u=-0,2 \vee u=0,3[/tex]
[tex]sin(x)=-0,2 \Rightarrow x=-0,20+n\cdot 2\pi \vee x=\pi -(-0.20)+n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]\vee[/tex]
[tex]sin(x)=0,3 \Rightarrow x=0,3047 + n\cdot 2\pi \vee x=\pi - 0,3047 + n\cdot 2\pi[/tex]
L:[tex]x=6,08 \vee x=3.34 \vee x=0,3047 \vee x=2,8353[/tex]
2) [tex]2sin^2(x)-3sin(x)\cdot cos(x)+3cos^2(x)=1[/tex]
Utnytter enhetsformelen.
[tex]2sin^2(x)-3sin(x)\cdot cos(x)+3cos^2(x)=cos^2(x)+sin^2(x)[/tex]
[tex]sin^2(x)-3sin(x) \cdot cos(x)+2cos^2(x)=0[/tex] <-- Deler på [tex]cos^2(x)[/tex]
[tex]tan^2(x)-3tan(x)+2=0[/tex]
Setter u=tan(x)
*Annengradsformelen*
[tex]u=1 \vee u=2[/tex]
[tex]tan(x)=1 \Rightarrow x=\frac {\pi}{4}+n\cdot \pi [/tex]
[tex]\vee[/tex]
[tex]tan(x)=2 \Rightarrow x=1.11+n\cdot \pi [/tex]
L: [tex]x=\frac {\pi}{4} \vee x=\frac {5\pi}{4}\vee x=1.11 \vee x=4.25[/tex]
d)
[tex]\big (\frac {cos(x)}{sin(x)} \big )\prime = \frac {-sin(x)\cdot sin(x)-cos(x)\cdot cos(x)}{sin^2(x)}[/tex]
[tex]\frac {-sin^2(x)-cos^2(x)}{sin^2(x)}[/tex]
Fra her kan vi gå to veier.
1) Utnytter at [tex]-sin^2(x)-cos^2(x)=-1[/tex]
Da blir [tex]\big (cot(x)\big)\prime=- \frac {1}{sin^2(x)}[/tex]
2.
[tex]\frac {-sin^2(x)-cos^2(x)}{sin^2(x)}[/tex]
[tex]\frac {-sin^2(x)}{sin^2(x)}-\frac {cos^2(x)}{sin^2(x)[/tex]
Da blir [tex]\big (cot(x)\big)\prime =-\big (1+cot^2(x)\big )[/tex]
Oppgave 5.
Dropper oppgave a og b. (Stress å tegne graf
)
c)
[tex]b^2+4^2=5^2[/tex]
[tex]b=sqrt{5^2-4^2}=\pm 3[/tex]
d)
[tex]\large h(x)=3sin(2x)+4cos(2x)+5[/tex]
[tex]5(sin2x\cdot \frac {3}{5}+cos(2x)\cdot \frac {4}{5})+5[/tex]
[tex]5(sin2x\cdot cos \alpha+cos(2x)\cdot sin \alpha)+5[/tex]
[tex]\alpha =cos(\alpha)=\frac {3}{5} \Rightarrow \approx 0.93[/tex]
[tex]\large h(x)=5sin(2x+0.93)+5[/tex]
e)
Den største verdien til h er: [tex]5\cdot 1+5=10[/tex]
x har denne verdien når:
[tex](2x+0.93)=\frac {\pi}{2}+n\cdot \pi[/tex]
[tex]x=0.32+n\cdot\pi[/tex]
Toppunktet har koordinatene: [tex]\big (0.32, 10\big )[/tex] eller koordinatene [tex]\big (3.46, 10\big )[/tex]
Den minste verdien til h er: [tex]5\cdot -1 + 5=0[/tex]
x har denne verdien når:
[tex](2x+0.93)=\frac {3\pi}{2}+n\cdot \pi[/tex]
[tex]x=1.89+n\cdot \pi[/tex]
Bunnpunktet har koordinatene [tex]\big (1.89, 0\big )[/tex] eller koordinatene [tex]\big (5.03, 0 \big )[/tex]
f)
[tex]4cos(2x)+5 \Rightarrow 4cos(x+x)+5[/tex]
[tex]cos(x+x)=cos^2(x)-sin^2(x)[/tex]
[tex]4 \big (cos^2(x)-sin^2(x)\big )+5[/tex]
[tex]-sin^2(x)=-\big (1-cos^2(x) \big)[/tex]
[tex]4 \big (cos^2(x)-(1-cos^2(x) \big )+5[/tex]
[tex]4 \big( 2cos^2(x)-1 \big )+5[/tex]
[tex]8cos^2(x)-4+5 \Rightarrow 8cos^2(x)+1[/tex]
Oppgave 6.
[tex]\large f(x)=\frac {2}{3}(x+2)(x-1)(x+3)[/tex]
[tex]\large f(x)=\frac {2x^3}{3}+\frac {8x^2}{3}+\frac {2x}{3}-4[/tex]
Ved å tegne grafen ser jeg at jeg får integralene:
(Tar dette på kalkulator)
[tex]-\int_{-2}^{1} \frac {2x^3}{3}+\frac {8x^2}{3}+\frac {2x}{3}-4 dx=\frac {15}{2}[/tex]
[tex]\int_{-3}^{-2} \frac {2x^3}{3}+\frac {8x^2}{3}+\frac {2x}{3}-4 dx=\frac {7}{18}[/tex]
Det totale arealet er [tex]\frac {15}{2}+\frac {7}{18}=\frac {71}{9}[/tex]
Opppgave 7
a)
[tex]\big (x(lnx)^2-2x\cdot lnx+2x \big )\prime \Rightarrow 1\cdot (lnx)^2+2x\cdot lnx\cdot \frac {1}{x}-(2\cdot lnx+2x\cdot \frac {1}{x})+2[/tex]
[tex]\Rightarrow (lnx)^2+2\cdot lnx-2\cdot lnx-2+2 \Rightarrow (lnx)^2[/tex]
b)
[tex]\pi \int_{1}^{e} \big(\frac {1}{2}(lnx)\big )^2dx \Rightarrow \pi \int_{1}^{e} \frac {1}{4}(lnx)^2 [/tex]
Siden vi ikke har lært om hvordan vi skal integrere utrykk som [tex]\int (lnx)^2 dx[/tex] enda.. benyttet jeg informasjonen i a) for å løse oppgaven
[tex]\pi \int_{1}^{e} \frac {1}{4}(lnx)^2 \Rightarrow \pi \left [\frac {x(lnx)^2-2x\cdot lnx+2x}{4} \right ]_{1}^{e}[/tex]
Som ble:[tex]\pi \left ( \frac {e}{4}-\frac {1}{2} \right ) \approx 0.5652 dm^3[/tex]
Hadde feil på den siste, men er fikset nå
\Andreas
2)
[tex]2cos(x)-\sqrt 2=0[/tex]
[tex]cos(x)=\frac {sqrt 2}{2}[/tex]
[tex]x=\frac {\pi}{4}+n\cdot 2\pi \vee x= -\frac {\pi}{4}+n\cdot 2\pi [/tex]
L:[tex]x=\frac {\pi}{4} \vee x=\frac {7\pi}{4}[/tex]
b)
1) [tex]2sin \big (\frac {\pi}{3}x \big ) + sqrt 3=0[/tex]
[tex]sin \big (\frac {\pi}{3}x \big )=- \frac {sqrt 3}{2}[/tex]
[tex]\frac {\pi}{3}x=-\frac {\pi}{3}+n\cdot 2\pi \vee \frac {\pi}{3}x=\pi -(-\frac {\pi}{3})+n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=-1+6n \vee x=4+6n[/tex]
L:[tex]x=5 \vee x=4[/tex]
2)
[tex]sin \big (\frac {\pi}{6}x \big )-\sqrt {3}cos \big (\frac {\pi}{6}x \big )=0[/tex] <-- Deler på [tex]cos \big (\frac {\pi}{6}x \big )[/tex]
[tex]tan\big (\frac {\pi}{6}x \big )=\sqrt {3}[/tex]
[tex]\frac {\pi}{6}x=\frac {\pi}{3}+n\cdot \pi[/tex]
[tex]x=2+6n[/tex]
L: x=2
c)
1)
[tex]100 sin^2(x)-10sin(x)-6=0[/tex]
Setter u=sin(x)
[tex]100u^2-10u-6=0[/tex]
*Annengradsformelen*, (ja jeg er lat).
[tex]u=-0,2 \vee u=0,3[/tex]
[tex]sin(x)=-0,2 \Rightarrow x=-0,20+n\cdot 2\pi \vee x=\pi -(-0.20)+n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]\vee[/tex]
[tex]sin(x)=0,3 \Rightarrow x=0,3047 + n\cdot 2\pi \vee x=\pi - 0,3047 + n\cdot 2\pi[/tex]
L:[tex]x=6,08 \vee x=3.34 \vee x=0,3047 \vee x=2,8353[/tex]
2) [tex]2sin^2(x)-3sin(x)\cdot cos(x)+3cos^2(x)=1[/tex]
Utnytter enhetsformelen.
[tex]2sin^2(x)-3sin(x)\cdot cos(x)+3cos^2(x)=cos^2(x)+sin^2(x)[/tex]
[tex]sin^2(x)-3sin(x) \cdot cos(x)+2cos^2(x)=0[/tex] <-- Deler på [tex]cos^2(x)[/tex]
[tex]tan^2(x)-3tan(x)+2=0[/tex]
Setter u=tan(x)
*Annengradsformelen*
[tex]u=1 \vee u=2[/tex]
[tex]tan(x)=1 \Rightarrow x=\frac {\pi}{4}+n\cdot \pi [/tex]
[tex]\vee[/tex]
[tex]tan(x)=2 \Rightarrow x=1.11+n\cdot \pi [/tex]
L: [tex]x=\frac {\pi}{4} \vee x=\frac {5\pi}{4}\vee x=1.11 \vee x=4.25[/tex]
d)
[tex]\big (\frac {cos(x)}{sin(x)} \big )\prime = \frac {-sin(x)\cdot sin(x)-cos(x)\cdot cos(x)}{sin^2(x)}[/tex]
[tex]\frac {-sin^2(x)-cos^2(x)}{sin^2(x)}[/tex]
Fra her kan vi gå to veier.
1) Utnytter at [tex]-sin^2(x)-cos^2(x)=-1[/tex]
Da blir [tex]\big (cot(x)\big)\prime=- \frac {1}{sin^2(x)}[/tex]
2.
[tex]\frac {-sin^2(x)-cos^2(x)}{sin^2(x)}[/tex]
[tex]\frac {-sin^2(x)}{sin^2(x)}-\frac {cos^2(x)}{sin^2(x)[/tex]
Da blir [tex]\big (cot(x)\big)\prime =-\big (1+cot^2(x)\big )[/tex]
Oppgave 5.
Dropper oppgave a og b. (Stress å tegne graf
)c)
[tex]b^2+4^2=5^2[/tex]
[tex]b=sqrt{5^2-4^2}=\pm 3[/tex]
d)
[tex]\large h(x)=3sin(2x)+4cos(2x)+5[/tex]
[tex]5(sin2x\cdot \frac {3}{5}+cos(2x)\cdot \frac {4}{5})+5[/tex]
[tex]5(sin2x\cdot cos \alpha+cos(2x)\cdot sin \alpha)+5[/tex]
[tex]\alpha =cos(\alpha)=\frac {3}{5} \Rightarrow \approx 0.93[/tex]
[tex]\large h(x)=5sin(2x+0.93)+5[/tex]
e)
Den største verdien til h er: [tex]5\cdot 1+5=10[/tex]
x har denne verdien når:
[tex](2x+0.93)=\frac {\pi}{2}+n\cdot \pi[/tex]
[tex]x=0.32+n\cdot\pi[/tex]
Toppunktet har koordinatene: [tex]\big (0.32, 10\big )[/tex] eller koordinatene [tex]\big (3.46, 10\big )[/tex]
Den minste verdien til h er: [tex]5\cdot -1 + 5=0[/tex]
x har denne verdien når:
[tex](2x+0.93)=\frac {3\pi}{2}+n\cdot \pi[/tex]
[tex]x=1.89+n\cdot \pi[/tex]
Bunnpunktet har koordinatene [tex]\big (1.89, 0\big )[/tex] eller koordinatene [tex]\big (5.03, 0 \big )[/tex]
f)
[tex]4cos(2x)+5 \Rightarrow 4cos(x+x)+5[/tex]
[tex]cos(x+x)=cos^2(x)-sin^2(x)[/tex]
[tex]4 \big (cos^2(x)-sin^2(x)\big )+5[/tex]
[tex]-sin^2(x)=-\big (1-cos^2(x) \big)[/tex]
[tex]4 \big (cos^2(x)-(1-cos^2(x) \big )+5[/tex]
[tex]4 \big( 2cos^2(x)-1 \big )+5[/tex]
[tex]8cos^2(x)-4+5 \Rightarrow 8cos^2(x)+1[/tex]
Oppgave 6.
[tex]\large f(x)=\frac {2}{3}(x+2)(x-1)(x+3)[/tex]
[tex]\large f(x)=\frac {2x^3}{3}+\frac {8x^2}{3}+\frac {2x}{3}-4[/tex]
Ved å tegne grafen ser jeg at jeg får integralene:
(Tar dette på kalkulator)
[tex]-\int_{-2}^{1} \frac {2x^3}{3}+\frac {8x^2}{3}+\frac {2x}{3}-4 dx=\frac {15}{2}[/tex]
[tex]\int_{-3}^{-2} \frac {2x^3}{3}+\frac {8x^2}{3}+\frac {2x}{3}-4 dx=\frac {7}{18}[/tex]
Det totale arealet er [tex]\frac {15}{2}+\frac {7}{18}=\frac {71}{9}[/tex]
Opppgave 7
a)
[tex]\big (x(lnx)^2-2x\cdot lnx+2x \big )\prime \Rightarrow 1\cdot (lnx)^2+2x\cdot lnx\cdot \frac {1}{x}-(2\cdot lnx+2x\cdot \frac {1}{x})+2[/tex]
[tex]\Rightarrow (lnx)^2+2\cdot lnx-2\cdot lnx-2+2 \Rightarrow (lnx)^2[/tex]
b)
[tex]\pi \int_{1}^{e} \big(\frac {1}{2}(lnx)\big )^2dx \Rightarrow \pi \int_{1}^{e} \frac {1}{4}(lnx)^2 [/tex]
Siden vi ikke har lært om hvordan vi skal integrere utrykk som [tex]\int (lnx)^2 dx[/tex] enda.. benyttet jeg informasjonen i a) for å løse oppgaven
[tex]\pi \int_{1}^{e} \frac {1}{4}(lnx)^2 \Rightarrow \pi \left [\frac {x(lnx)^2-2x\cdot lnx+2x}{4} \right ]_{1}^{e}[/tex]
Som ble:[tex]\pi \left ( \frac {e}{4}-\frac {1}{2} \right ) \approx 0.5652 dm^3[/tex]
Hadde feil på den siste, men er fikset nå
\Andreas
-
Genius-Boy
- Cauchy
- Posts: 242
- Joined: 31/01-2006 20:06
- Location: Oslo
Hvilken R2-bok er det dere bruker på skolen deres?
Kanskje litt greit å vite med tanke på innholdet i prøven. Ser at det ikke er noe vektorregning her.
GB
Kanskje litt greit å vite med tanke på innholdet i prøven. Ser at det ikke er noe vektorregning her.
GB
"The essence of mathematics is not to make simple things complicated, but to make complicated things simple."
-
Andreas345
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Sinus R2 av CappelenDamm
Vi droppet å ha med kapittel 4(vektorer) på prøven fordi vi var ikkje heilt ferdig med kapittelet enda.
Vi droppet å ha med kapittel 4(vektorer) på prøven fordi vi var ikkje heilt ferdig med kapittelet enda.
-
Genius-Boy
- Cauchy
- Posts: 242
- Joined: 31/01-2006 20:06
- Location: Oslo
Bruker samme bok. Men vi har med vektorregning på heldagsprøven i morgen. 
Skal få gjort noen av disse etterpå.
GB
Skal få gjort noen av disse etterpå. GB
"The essence of mathematics is not to make simple things complicated, but to make complicated things simple."