Vektorer i rommet

[akihc]

Er det noen som skjønner seg på denne oppgaven?;

Oppgave 32.3;
La A=(1,0,1) og B=(1,1,0) være punkter i rommet.

a) Bestem [tex]\vec{OA}[/tex] og [tex]\vec{OB}[/tex] og finn lengdene til disse vektorene.
Svar: [tex]\vec{OA}=[1,0,1], \; \; \; \vec{OB}=[1,1,0][/tex] Begge har en lengde hver som er [tex]\sqrt{2}[/tex].

b) Forklar hvorfor det finnes akkuratt en sirkel S med senter i origo slik at punktene A og B ligger på sirkelen.

[Vektormannen]

Vektorene har samme lengde og samme startpunkt. Det må bety at de er radiuser i en sirkel S med sentrum i origo.

[akihc]

Men hvordan kan jeg bestemme;

c) Arealet til (det minste) sirkelsegmentet R som er avgrenset av linjene OA og OB i sirkelen S.

[Vektormannen]

Finn arealet av trekanten med sider OA og OB ved f.eks. å bruke kryssproduktet. Hvordan tror du nå du kan finne arealet av segmentet oppgaven spør etter?

[akihc]

Er det riktig å gjøre det slik?;

Jeg fant først kryssproduktet av de to vektorene OA og OB , da fikk jeg en determinant lik [tex]\sqrt{3}[/tex] Og jeg visste at arealet av en trekant er halve determinantet, dermed er arealet av trekanten [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Da skal jeg finne arealet av sirkelsegmentet som oppgaven spør etter , det av formelen: [tex]A=\frac{1}{2} \cdot br[/tex]Da jeg kjenner til arealet av A blir likningen;

[tex]\frac{\frac{sqrt{3}}{2}}{r}=b[/tex] [tex]\; \;[/tex] (der r=[tex]\sqrt{2}[/tex])

da jeg kjenner til b får jeg ;

[tex]A=\frac{1}{2} \cdot 1,2247 \cdot \sqrt{2}=0,866[/tex]?

[FredrikM]

Du kan også finne vinkelen mellom vektorene i radianer. Så kan du bruke formelen
[tex]A=\frac{\theta r^2}{2}[/tex]
for å finne arealet av sirkelsegmentet.

[Vektormannen]

Da finner du vel arealet av sektoren, ikke segmentet?

[akihc]

Det er ikke noe forskjell mellom en sirkelsektor eller sirkelsegment, sjekk selv ved å finne absolutt vinkel mål som Fredrik ga tips for og da vil du se at du lander på det samme svaret.

Jeg lurer på;

d) Punktet C har kordinatene C=(4,5,6). Finn volumet til pyramiden som har sirkelsegmentet/sirkelsektor R som grunnflate og spiss i punktet C.

Formelen for volum av en pyramide er : [tex]\frac{Gh}{3}[/tex].

Jeg vet at G= arealet av sirkelsektoren/sirkelsegmentet , men hvordan finner jeg h ?

[Vektormannen]

Jeg gav ikke noe tips om absolutt vinkelmål. Men wikipedia sier i alle fall at det er forskjell på segment og sektor: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Circle_slices.svg

[akihc]

Ingen forskjell sa jeg etter å ha lest fra dette forumet, der snakker de åpenbart om en sirkelsektor som de kaller for sirkelsegment...

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=306

Og nei, ikke du , det var Fredrik som ga tips om absolutt vinkelmål....Uansett hvordan finner jeg arealet til sirkelsegmentet da? Jeg har funnet kryssproduktet til vektorene OA og OB, hvis det skulle være til hjelp...

Du kan også finne vinkelen mellom vektorene i radianer. Så kan du bruke formelen
[tex]A=\frac{\theta r^2}{2}[/tex]
for å finne arealet av sirkelsegmentet.

Ja og når jeg gjorde det så fikk jeg det samme svaret, det må jo bety at siden oppgaven sa at jeg skulle finne arealet av segmentet R som var avgrenset av linja OA og OB er som en sektor? Isåfall var det samme fremgangsmåte som for arealet til en sirkelsektor. Det må jo være sirkelsektor det er snakk om da som sirkelsektoren som de sikkert kaller sirkelsegment for er avgrenset av linja OA og OB, lett å tro at da er det en vinkel imellom dem som tyder på en sirkelsektor....


d) Punktet C har kordinatene C=(4,5,6). Finn volumet til pyramiden som har sirkelsegmentet/sirkelsektor R som grunnflate og spiss i punktet C.

Svar: For å finne volumet av pyramiden brukte jeg trippelproduktet. Dermed er volumet av pyramiden gitt ved : [tex]V=\frac{1}{6} \cdot (OA X OB) \cdot OC[/tex]

Så jeg må nok ha regnet ut riktig til hit, noen som er uenig? Begrunn...