matematikk.net

Hvordan finner jeg største verdi funksjonen antar på intervall [0 , [pi][/pi]/2]

Funksjon -> sinxcos^2x

Altså så det ikke er tvil

sin(x)cos[sup]2[/sup](x)

For en funksjon på et lukket intervall er det to muligheter:
1. Største verdi er innenfor intervallet (ikke endepunktene)
2. Største verdi er på endepunktene (randpunktene)

For å finne ut hva som er tilfelle må du finne makspunkter ved derivasjon, og sammenligne funksjonsverdiene i disse punktene med randpunktene.

I dette tilfellet er endepunktene lavere enn den største verdien.
Sett den deriverte lik 0:
cos[sup]3[/sup](x)-2*sin[sup]2[/sup](x)*cos(x) = 0

Dersom vi forutsetter cos(x) ulik 0:
cos[sup]2[/sup](x) = 2*sin[sup]2[/sup](x)
-> tan[sup]2[/sup](x) = 1/2

Og nå er oppgaven å finne et eksakt (?) uttrykk for funksjonsverdien i dette punktet. Det kan du gjøre ved et par knep: Når tan(x) er kjent kan man finne verdier for både sin(x) og cos(x) ved å bruke:
1. tan(x) = sin(x)/cos(x) = sin(x)/[rot][/rot](1 - sin[sup]2[/sup](x))
2. tan(x) = sin(x)/cos(x) = [rot][/rot](1 - cos[sup]2[/sup](x))/cos(x)

Evt. kan du bruke disse:
sin(arctan(x)) = x/[rot][/rot](1 + x[sup]2[/sup])
cos(arctan(x)) = 1/[rot][/rot](1 + x[sup]2[/sup])
(som lett utledes fra 1 og 2)

Ifølge maple blir svaret:
(1/9)*[rot][/rot]12
(du må selvsagt sjekke om verdien ligger innenfor intervallet, og det gjør den)

ok, takk skal se om jeg kommer fram til noe eksakt svar her.

Det er betraktelig enklere å bruke ligningene jeg nevner nå, har endret innlegget litt...
Vær oppmerksom på at ligningene ikke helt tar hensyn til de to mulige verdiene for sin(x) dersom tan(x) er gitt, men det kan du sikkert se litt på selv.