matematikk.net

Hvis du har en kule som du kjenner radiusen til, hvordan kan du ved hjelp av et kar med vann finne massen til kula ved å dyppe den i vannet ved hjelp av én lengdemåling? (gitt at den ikke synker)

Vann har massetettheten: [tex]\frac {0,998 g}{cm^3}[/tex]

Kula har massentettheten: [tex]\frac {x}{\frac {4\pi r^3}3}[/tex] (Der r: radiusen er målt i centimeter og x er massen i gram)

Vi vet at tettheten til kula er mindre enn tettheten til vannet i og med det er oppgitt at den ikke skal synke.

s: målt lengde i cm.

[tex]\frac {\frac {x}{\frac {4\pi r^3}3}}{\frac {0,988g}{cm^3}}=\frac s{2r}[/tex]

[tex]\frac x{\frac {4\pi r^3}3}=\frac {0,988g\cdot s}{2r\cdot cm^3}[/tex]

[tex]x=\frac {4\pi r^3\cdot 0,988g\cdot s}{6r\cdot cm^3}=\frac {2\pi r^3\cdot 0,988g\cdot s}{3r\cdot cm^3}[/tex]


Jeg bare gjetter, er jeg helt på bærtur?

Her antar du at volumet av kulen under vann er proporsjonal med lengden langs diameteren som ligger under vann. Det er ikke tilfelle med en kule. (Det er tilfelle med en kube eller en sylinder for eksempel).

Forresten, vi tar alt i meter og kilo, så bare dropper vi enhetsbetegnelsene. De er ikke så pene å se på . Hvis man vil kan man anta at vann har en densitet på [tex]10^{3}[/tex].

Jeg prøver meg igjen, litt ved hjelp av bestemt integral og beviset av volumet av kuler.

Tettheten til vann: [tex]1000 kg/m^3[/tex]

Tettheten til kula: [tex]\frac x{\frac {4\pi r^3}3}[/tex] (x er massen og r er radius)


s: Den målte lengden som kula er under vann

Volumet til delen til kula som er under vann:

[tex]V_u=\int_r^s\pi (r^2-x^2)dx=\pi [r^2x-\frac 13x^3]_r^s=\pi \left((sr^2-\frac 13s^3)-(r^3-\frac 13r^3)\right)\\=\pi \left( sr^2-\frac 13s^3-r^3-\frac 13r^3\right) =\pi \left( \frac {3sr^2-s^3-4r^3}3\right) =\frac {3\pi sr^2-\pi s^3- 4\pi r^3}3[/tex]


[tex]MT_k[/tex]: Massetettheten til kula

[tex]MT_v[/tex]: Massetettheten til vann

[tex]V_{k_u}[/tex]: Volumet av delen av kula under vann

[tex]V_k[/tex]: Volumet av kula



Tror likningen da skal bli:

[tex]\frac {MT_k}{MT_v}=\frac {V_{k_u}}{V_k}[/tex]



[tex]\frac {\frac x{\frac {4\pi r^3}3}}{1000}=\frac {\frac {3\pi sr^2-\pi s^3- 4\pi r^3}3}{\frac {4\pi r^3}3}[/tex]




[tex]\frac x{\frac {4\pi r^3}3}=1000\cdot \frac {\frac {3\pi sr^2-\pi s^3-4\pi r^3}3}{\frac {4\pi r^3}3}[/tex]



[tex]x=1000\cdot \frac {3\pi sr^2-\pi s^3-4\pi r^3}3[/tex]


Vis dette er feil gleder jeg meg til å se løsningsforslag

Jepp, riktig fremgangsmåte. Jeg ser likevel et par feil i utregningen. Grensene ser ut til å være motsatt av det de skal være, og det er en fortegnsfeil et sted.

Ser fortegnsfeilen min, men mener du det skal være fra s til r og ikke fra r til s? Jeg måtte vri og vrenge på hjernen min, til slutt satsa jeg bare på en av de :p

Den øvre grensen er jo naturlig nok r, og ikke s. Som du ser i formelen din vil man få negativ masse for en r<s.

[tex]V_u=\int_s^r\pi (r^2-x^2)dx=\pi [r^2x-\frac 13x^3]_s^r=\pi \left( (r^3-\frac 13r^3)-(sr^2-\frac 13s^3)\right)\\=\pi \left( \frac 23r^3-sr^2+\frac 13s^3\right)=\frac {2\pi r^3-3\pi sr^2+\pi s^3}3[/tex]


[tex]\frac {\frac x{\frac {4\pi r^3}3}}{1000}=\frac {\frac {2\pi r^3-3\pi sr^2+\pi s^3}3}{\frac {4\pi r^3}3}[/tex]


[tex]\frac x{\frac {4\pi r^3}3}=1000\cdot \frac {\frac {2\pi r^3-3\pi sr^2+\pi s^3}3}{\frac {4\pi r^3}3}[/tex]



[tex]x=1000\cdot \frac {2\pi r^3-3\pi sr^2+\pi s^3}3[/tex]

Jepp, bra!