matematikk.net

Vis at hvis a, b [tex]\in \mathbb{Z}\,\,[/tex] og a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup] + 9ab er delelig med 11, så er a[sup]2[/sup]-b[sup]2[/sup] delelig med 11.

Blir vel ganske rett fram:

[tex]a^2+b^2+9ab \equiv a^2-2ab+b^2 \equiv (a-b)^2 \equiv 0 \Rightarrow a \equiv b[/tex] (siden 11 er et primtall) [tex] \Rightarrow a^2 \equiv b^2 \Rightarrow a^2-b^2 \equiv 0 (\rm{mod}11)[/tex]

Siden Jarle tok fram pressluftboret, får vi ta en (ekvivalent) løsning som ungdomsskoleelevene kan forstå

Dersom m er delelig med 11, er m+11n delelig med 11 og.

Dette betyr at dersom [tex]a^2 + 9 ab + b^2[/tex] er delelig med 11, er [tex](a^2 + 9 ab + b^2)-11ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2[/tex] delelig med 11 og.

Siden 11 er et primtall, må 11 være faktor i [tex]a-b[/tex], og derfor også i [tex](a-b)(a+b) = a^2 - b^2[/tex]