matematikk.net

Trenger en enkel løsning på dette integralet:

[tex] I= \int _{-r}^{r} y^2\cdot\sqrt{r^2-y^2}dy[/tex]

PS! har ikke lært om trigonometrisk substitusjon, så hvis det er veien å gå så er litt forklaring på sin plass, hehe.

Sett u=x^2, så skal du få et integral som kan løses med trigonometrisk substitusjon.

Jeg foreslår du leser denne:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution før du går videre med det.

Jarle10 wrote:Sett u=x^2, så skal du få et integral som kan løses med trigonometrisk substitusjon.

Jeg foreslår du leser denne:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution før du går videre med det.

Du mener u=y^2?

(pirk da men)

espen180 wrote:

Jarle10 wrote:Sett u=x^2, så skal du få et integral som kan løses med trigonometrisk substitusjon.

Jeg foreslår du leser denne:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution før du går videre med det.

Du mener u=y^2?

(pirk da men)

ja

Jarle10 wrote:Sett u=x^2, så skal du få et integral som kan løses med trigonometrisk substitusjon.

Jeg foreslår du leser denne:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution før du går videre med det.

Takker, det løste seg nå!

Men pass på svaret, det du har fått er ikke riktig for alle x.

Vil du skrive inn svaret du har fått?

Jarle10 wrote:Men pass på svaret, det du har fått er ikke riktig for alle x.

Vil du skrive inn svaret du har fått?

Setter [tex] y=r\cdot sin\theta[/tex]

Det gir at:
[tex] \frac{dy}{d\theta}=r\cdot cos\theta \rightarrow dy=r\cdot cos\theta d\theta[/tex]

Nye grenser blir:
Nedre: [tex] \theta=arcsin\frac{-r}{r}=\frac{-\pi}{2}[/tex]
Øvre: [tex] \theta=arcsin\frac{r}{r}=\frac{\pi}{2}[/tex]

Dette gir følgende integral:

[tex] \int _{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2 sin^2\theta\cdot\sqrt{r^2-r^2 sin^2\theta}\cdot r cos\theta d\theta[/tex]

Forenkler dette litt:
[tex]r^4 \int _{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sin^2\theta\cdot\sqrt{1- sin^2\theta}\cdot cos\theta d\theta=r^4 \int _{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sin^2\theta\cdot\sqrt{cos^2\theta}\cdot cos\theta d\theta=r^4 \int _{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sin^2\theta\cdot cos^2\theta d\theta[/tex]
Dette integralet står i boka og løsningen er:
[tex] r^4\cdot[\frac{\theta}{8}-\frac{sin 4\theta}{32}]_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[/tex]

Beregner dette og får:
[tex] I=\frac{\pi r^4}{8}[/tex]

Fint.
Jeg kom forresten over en rar ting med dette integralet da jeg fant den antideriverte:

[tex]\int x^2 \sqrt{1-x^2} \rm{d}x = \frac{2(2x^3-x)\sqrt{1-x^2}+\arcsin(2x^2-1)}{16}+C[/tex]

Hvis man nå prøver å ta fra grensene x=-1 til x=1, får man at arealet er lik 0, som åpenbart er galt. Dette er rart i seg selv, men denne antideriverte gjelder tydeligvis for positive grenser. For negative grenser blir den antideriverte slik: (som jeg ikke er sikker på, men det ser slik ut ved eksperimentering på kalkulatoren, og gir mening med tanke på symmetrien til grafen til integranden om y-aksen)

[tex]\frac{2(2x^3-x)\sqrt{1-x^2}-\arcsin(2x^2-1)}{16}+C[/tex]

(Denne gjelder med kalkulatorens output av funksjonen [tex]\arcsin x[/tex]
([tex]-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(x) \leq \frac{\pi}{2}[/tex])
Er det noen som har en forklaring på dette?

Trur du har integrert feil i utgangspunktet.

mrcreosote wrote:Trur du har integrert feil i utgangspunktet.

Det kan jeg ikke tro. Har tenkt en del på dette og har integrert flere ganger og derivert flere ganger. Dessuten ser det ut til å stemme veldig fint på kalkulatoren. Hvis man hadde satt [tex]\arcsin(2x^2-1)[/tex] til å gi output [tex]\pi-\arcsin(2x^2-1)[/tex] for negative x (som er begge (hva skal jeg si?) "gyldige" verdier) så hadde det vært riktig for negative grenser og.

Den første antideriverte jeg skrev har forresten et bruddpunkt i x=0.

Denne funksjonen
[tex]f(x) = \frac{2(2x^3-x)\sqrt{1-x^2}+\arcsin(2x^2-1)}{16} +C \ , \ x \geq 0 \\ \ \ \ \ \ \ \frac{2(2x^3-x)\sqrt{1-x^2}-\arcsin(2x^2-1)}{16} \ , \ x < 0[/tex]

...har det derimot ikke ved riktig valgt konstant C slik at den er kontinuerlig (som er [tex]-\frac{\pi}{16}[/tex] hvis jeg husker rett)

Feilen din ligger som sagt i at du har integrert feil. Hvis du erstatter f(x)=arcsin(2x^2-1) med g(x)=2arcsin(x), stemmer det. Forskjellen er at den deriverte av f(x) er [tex]\frac{2\operatorname{sign}(x)}{\sqrt{1-x^2}}[/tex] mens den deriverte av g(x) er [tex]\frac2{\sqrt{1-x^2}}[/tex].

Hm, ok skal sjekke det.