matematikk.net

Finn en rekursiv og eksplisitt formel for n-te ledd i tallfølgen

[tex]1, 7, 16, 28, 43, ...[/tex]

Dette står i forklaringen på oppgaven:

Vi observerer at differansen mellom leddene er 6,9,. Altså øker den med 3 for hvert ledd. Den rekursive formelen er derfor [tex]a_n = a_{n-1} +3n[/tex]. Det er greit nokk.

Men så kommer det:

Den eksplisitte formelen kan vi finne ved å skrive opp de første leddene ved hjelp av den rekursive formelen og se om vi ser noe mønster:

[tex]a1 = 1[/tex]
[tex]a2 = a1 + 3 \cdot 2 = 1 + 3 \cdot 2[/tex]
[tex]a3 = a2 + 3 \cdot 3 = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3[/tex]
[tex]a4 = a3 + 3 \cdot 4 = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 3\cdot 4[/tex]

Det ser ut til at det n-te leddet er gitt ved

[tex]a_n = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 3\cdot 4 ... + 3 \cdot n[/tex]

Vi trekker fra og legger til [tex]3 \cdot 1[/tex]...

HVORFOR I ALLE DAGER TREKKER DU FRA OG LEGGER TIL [tex]1\cdot 3[/tex] ???

Jeg tenker altså slik:

[tex]a_n = 1+2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + ... 3 \cdot n[/tex]

[tex]a_n = 1+3(2+3+4+...n)[/tex]

trekantallene er summen av alle naturlige tallene, 1, 1+2, 3+2+1, 4+3+2+1

Men her begynner vi med 2 istedet for 1... så jeg forstår ikke... må jeg plusse til 1 for hvert ledd ?

[tex]a_n = 1 + 3(2+3+4+...+n) = 3(1+2+3+...+n) - 2[/tex]

Vektormannen wrote:[tex]a_n = 1 + 3(2+3+4+...+n) = 3(1+2+3+...+n) - 2[/tex]

Jeg ser fortsatt ikke hvorfor Hva du flytter og hvorfor du flytter

Velkjent triks i matematikken dette her. Av og til kan det være lurt å addere 0 på en smart måte.

La oss si du vil finne et uttrykk for [tex]3\cdot 2 + 3 \cdot 3 + \cdots + 3 \cdot n[/tex]

Du vet allerede at [tex]1 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Da kan du tenke slik:
[tex]\begin{align}3\cdot 2 + 3 \cdot 3 + \cdots + 3 \cdot n &= 3(2 + \cdots + n) \\ &= 3( 2 + \cdots + n) + 3 - 3 \\ &= 3( 1 + 2 + \cdots+ n) - 3 \\ &= \frac{3n(n+1)}{2}-3\end{align}[/tex]

Et annet eksempel - la oss si du vil faktorisere [tex]x^4 + 1[/tex]. Da kan du tenke slik:
[tex]x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt 2 x)^2 = (x^2 + \sqrt 2x + 1)(x^2 - \sqrt 2 x + 1)[/tex]

daofeishi wrote:Velkjent triks i matematikken dette her. Av og til kan det være lurt å addere 0 på en smart måte.

La oss si du vil finne et uttrykk for [tex]3\cdot 2 + 3 \cdot 3 + \cdots + 3 \cdot n[/tex]

Du vet allerede at [tex]1 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Da kan du tenke slik:
[tex]\begin{align}3\cdot 2 + 3 \cdot 3 + \cdots + 3 \cdot n &= 3(2 + \cdots + n) \\ &= 3( 2 + \cdots + n) + 3 - 3 \\ &= 3( 1 + 2 + \cdots+ n) - 3 \\ &= \frac{3n(n+1)}{2}-3\end{align}[/tex]

Et annet eksempel - la oss si du vil faktorisere [tex]x^4 + 1[/tex]. Da kan du tenke slik:
[tex]x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt 2 x)^2 = (x^2 + \sqrt 2x + 1)(x^2 - \sqrt 2 x + 1)[/tex]

Å JA!

Altså, enkelt forklart: man tar det tallet man ganger (alle tall i parantesen) med og trekker det fra (parantesen), og bytter det som er inne i parantesen til 1,2,3,4 ... Ikke sant ?

Ja, i ditt tilfelle:

[tex]a_n = 1 + 3(2+3+...+n)[/tex]

Vi kan legge til 3 og trekke fra 3:

[tex]a_n = 1 + 3(2+3+...+n) + 3 - 3[/tex]

Det positive 3 er jo faktor både i det positive 3-tallet og parentesen:

[tex]a_n = 1 + 3(1+2+3+...+n) - 3[/tex]

Nå står vi igjen med parentesleddet og 1 - 3 som blir -2:

[tex]a_n = 3(1+2+3+...+n) - 2[/tex]

mathme wrote:Altså, enkelt forklart: man tar det tallet man ganger (alle tall i parantesen) med og trekker det fra (parantesen), og bytter det som er inne i parantesen til 1,2,3,4 ... Ikke sant ?

Hmm... dette var litt upresist - og kommer helt an på situasjonen. Ikke tenk på det som en "regel." Det du skriver der funker f.eks. ikke om du ville summe (3*4 + 3*5 + ... + 3*n).

Motivasjonen for å gjøre det vi gjorde var at vi hadde (2 + ... + n) som en faktor. Dette er nesten (1+ ... + n) som vi kjenner et enkelt uttrykk for - og ved å "legge til null"/omskrive uttrykket litt så fikk vi (1 + ... + n) som faktor.

Jeg forstår det dere sier (Vektormannen og daofeishi).

Jeg forstår nå slik som vektormannen har skrevet det... men daofeishi du sier man ikke får lov til det hvis det øker fra 4, men hvorfor ?


Får jeg ikke lov til å utføre samme operasjon ?

Vektormannen wrote:Det positive 3 er jo faktor både i det positive 3-tallet og parentesen:

daofeishi wrote:Det du skriver der funker f.eks. ikke om du ville summe (3*4 + 3*5 + ... + 3*n).

Det er fordi, som vektormannen sier, at 3 tallet ikke er i parantesen ikke sant ?

Ellers gjelder dette for alle, at vi kan trekke fra og legge til det tallet vi ganger med ? - Eller hvordan vet jeg hvilke tall jeg skal addere og trekke fra ?

Og en ting til jeg ikke forsår er hvorfor, når vi adderer og trekker fra 3 tallet, blir innholdet i parantesen (1,2,3,4...) istedet for (2,3,4,5...). Jeg klarer ikke se det

[tex]3(2+3+...+n) + 3 = 3((2+3+...+n) + 1) = 3(1+2+3+...+n)[/tex]

Er ikke verre enn det. Eller var det noe annet du mente?

Vektormannen wrote:[tex]3(2+3+...+n) + 3 = 3((2+3+...+n) + 1) = 3(1+2+3+...+n)[/tex]

Er ikke verre enn det. Eller var det noe annet du mente?

Altså du trekker 2 fra 3, for å legge 2 inn i parantesen ?

Jeg forstår ikke denne her:

[tex]3((2+3,...+n)+1)[/tex]

- Det var det jeg mente ja, og + hvordan vet jeg hvilke tall jeg skal plusse og trekke fra..

Hvis du ikke ser det, så gå over utregningene på egenhånd, med penn og papir, uten å se på PC-skjermen. Prøv å reksonstruere hva som ble gjort. Da håper jeg du klarer å se logikken. Det er ikke noe mer hokuspokus i dette enn helt vanlig algebra. Si ifra hvis du fremdeles står fast etterpå.

daofeishi wrote:Hvis du ikke ser det, så gå over utregningene på egenhånd, med penn og papir, uten å se på PC-skjermen. Prøv å reksonstruere hva som ble gjort. Da håper jeg du klarer å se logikken. Det er ikke noe mer hokuspokus i dette enn helt vanlig algebra. Si ifra hvis du fremdeles står fast etterpå.

Tusen takk