matematikk.net

Her er en link til gåten, men jeg kan forklare den på norsk:

http://xkcd.com/blue_eyes.html

En gruppe mennesker med forskjellige øyefarger bor på en øy. De er alle utmerkede logikere, dvs at hvis de kunne med logisk resonnement komme fram til noe, så vil de gjøre det momentant. Ingen kjenner til fargen på sine egne øyne. Hver natt ved midnatt stopper en ferge ved øya. Enhver øybeboer som har kjenner til sin fargen på sine egne øyer forlater øya, og resten blir. Alle kan se alle andres øyer til enhver tid, og holder alltid tellingen med hvor mange de ser med hver øyefarge (untatt dem selv, naturligvis), men de kan ikke kommunisere på noen annen måte. Alle på øya kjenner til disse reglene.

På øya befinner det seg 100 personer med blå øyne, 100 personer med brune øyne, og én Guru (som har grønne øyne). Så enhver person med blå øyne kan se 100 personer med brune øyne, og 99 personer med blå øyne, og én med grønne. Dette forteller en person imidlertidig ikke hvilken øyefarge han selv har, da de liksågodt kunne ha vært 101 personer med brune øyne, og 99 med blå, for personens del.

Guruen kan snakke én gang (vi sier klokka 12 om dagen), på én dag i alle de endeløse årene på øya. Foran beboerne sier hun en dag:

"Jeg kan se noen med blå øyne".

Hvem drar fra øya, og når?



Det er på ingen måte et lurespørsmål, svaret kan finnes ved logisk tankegang. Det er ikke lov å være kreativ med for eksempel å si at de kan speile seg i vannet, men ellers vær så kreativ du bare klarer. Et svar må også ha en logisk begrunnelse.

Ser det er flere xkcd-lesere her. Her er løsningen min:

(markert som spoiler om jeg har valgt riktige farger)
Anta at det er 2 blåøyde personer og 2 brunøyde på øya. Når de får høre at det er minst en blåøyd person på øya kan vi vurdere de 2 blåøyde. De ser begge 2 brunøyde personer og 1 annen blåøyd. (og den grønnøyde guruen) Da vil han tenke dette: "Enten er den blåøyde jeg ser den eneste blåøyde på øya, eller så har jeg også blå øyne. Om han er den eneste vil han ikke se noen blåøyde og derfor måtte konkludere med at han er den eneste blåøyde. Altså vil han dra i natt." Det samme tenker den andre blåøyde. Neste dag er begge der fortsatt, og de blir da begge klare over at det ikke kan være bare èn blåøyd på øya; det må være minst to. Siden de bare ser èn blåøyd må de da konkludere med at de må være den andre blåøyde, og ergo vil begge dra den andre natta.

Vi setter så opp en induksjonshypotese: Om det er n blåøyde vil alle de n blåøyde dra den n-te natta. Vi har sett at det stemmer for n=2 (og n=1), og prøver så å bevise at om det holder for n blåøyde vil det også holde for n+1 blåøyde. Vi tenker oss at det er n+1 blåøyde, n+1 brunøyde og 1 guru på øya. De blåøyde ser n blåøyde, og de må da tenke følgende: "Enten er det n blåøyde på øya, eller så har jeg òg blå øyne og vi er til sammen n+1. Om det er n blåøyde vil de dra den n-te natta. (Her bruker vi induksjonshypotesen.)" Nettene går, og ingen drar den n-te natta. Neste dag blir alle de blåøyde beboerne klare over at ingen har dratt, og de skjønner da at det ikke kan være n blåøyde (for da hadde de dratt den natta). Ergo må det være n+1, og da må de selv være den siste blåøyde. Alle sammen har fulgt denne tankerekken, og alle drar så neste natt (den n+1-te natta).

Altså medfører påstanden "Om det er n blåøyde vil alle de n blåøyde dra den n-te natta." påstanden "Om det er n+1 blåøyde vil alle de n+1 blåøyde dra den n+1-te natta.", og induksjonshypotesen er bevist. Vi var interesserte i tilfellet n=100, og alle de blåøyde vil forsvinne natt nummer 100.

(ikke lenger markert som spoiler)

Litt usikker på dette. Holder det?

Jepp, bra!

Det morsomme er at Guruen forteller personene noe de allerede vet, men likevel gjør det alle blåøyde sikre på at de er det.

<spoiler>

Vil ikke da de med brune øyne gjøre akkuratt det samme ressonementet, og skjønne at alle med blå øyne drar og dermed vite at alle som blir igjen har brune øyne og dermed må de også forlate øya?"

</spoiler>

<spoiler>
De brunøyde vil heller ikke vite om de har blå øyne eller ikke. For dem er det da to muligheter: enten er det 100 personer med blå øyne eller 101 personer. Siden alle de blåøyde forsvinner den 100. natta skjønner de at det er/var 100 blåøyde på øya. Ergo kan de ikke ha blå øyne. De vet dog ikke at det bare er to øyefarger på øya (unntatt guruen), så de kan ikke da konkludere med at de må ha brune øyne - for alt de vet kan de ha røde øyne.

Om det du mente var hvorfor de ikke kan følge akkurat den samme tankegangen som de blåøyde er det litt vanskelig å forklare. Jeg begynte å taste ivei for å forklare det, men tror ikke jeg er så god på å forklare denne typen ting. Derfor kopierer jeg skamløst en post fra xkcd-forumene som setter ord på tankene mine mye bedre enn jeg klarer selv.

Westacular wrote:Suppose you have blue eyes: you ('A') look around and see 99 people with blue eyes. You know that one of those people with blue eyes ('B') will see either 98 or 99 people with blue eyes, depending on whether or not you have blue eyes.

BUT! You suppose that if B sees 98 blue-eyed folk, then HE will think, well, this other blue-eyed dude ('C') might only see 97 people with blue eyes.

(You, personally, know that this cannot be the case, but you don't know that B knows that, because B doesn't know that he has blue eyes.)

And so A thinks that B thinks that C thinks that it's possible that D only sees 96 people who have blue eyes.

This chains onward indefinitely. What the Guru provides is a base case at the end of that chain: "... thinks that Y thinks that it's possible Z sees 0 people who have blue eyes, but if that's the case he'll leave the island tonight.

The bold text could not be placed at the end of the hypothetical before the Guru's statement, because prior to the statement a person seeing no blue eyes would not be able to conclude that he must be the one with blue eyes. The Guru's statement provides a starting point with which to test this overwrought hypothesis; as each day passes, one step of it is proven impossible until the day arrives when you KNOW that all the other blue-eyes see same thing as you, and therefore you all have to leave that night.

The fact that everyone is acting identically in parallel waiting for the results of the 99th night works because they don't all collectively know that everyone else knows that they're all waiting for that.

</spoiler>
De beste "spoilerfargene" her på forumet er forresten #D1D7DC og #DEE3E7, tror jeg.

Jepp, poenget er at de ikke vet at det bare finnes personer (untatt guruen) med enten blå, eller brune øyne.