matematikk.net

Er det noen som fort kan forklare meg forskjellen på rekursive og eksplisitte tallfølgeformler?

Kom gjerne med eksempler

En rekursiv formel beskriver et tall i følgas forhold til det forgående tallet. Den sier altså hvordan du finner tallet [tex]a_n[/tex] i følga når du vet [tex]a_{n-1}[/tex] (det forgående tallet). Eksempel: ei følge er definert ved at [tex]a_1 = 3[/tex] og [tex]a_n = 2 \cdot a_{n-1}[/tex]. Vi ønsker å finne [tex]a_4[/tex]:

[tex]a_4 = 2 \cdot a_3 = 2 \cdot 2 \cdot a_2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot a_1 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24[/tex].

Som vi ser er det mye arbeid for å finne et tall langt ute i følga. Det er her eksplisitte formler kommer til hjelp. Vi ser at [tex]a_4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3[/tex]. Det er ikke vanskelig å tenke seg at [tex]a_5[/tex] må være helt lik, bare med en ekstra 2 som faktor slik at vi da får [tex]a_5 = 2^4 \cdot 3[/tex]. Vi merker oss et mønster her: [tex]a_n = 2^{n-1} \cdot 3[/tex]. Dette er den eksplisitte formelen for rekka -- den gir oss et hvert tall i rekka direkte fra tallets nummer i rekka. Vi kan teste den med n = 4: [tex]a_4 = 2^{4-1} \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24[/tex]. Det stemmer altså.

Tusen takk for svar
Mye bedre forklart enn boken!