matematikk.net

Gitt 2 naturlige tall a og b, kan vi ha at [tex]\{ax+b|x\in\mathbb{Z}\}\cap\{1,2,3,5,8,\dots\}=\emptyset[/tex]?

[tex]\emptyset[/tex] har jeg aldri sett før, hva menes med dette? Ikke gylne snitt vel?

Er ikke det det tomme settet, altså {}?

Tomme settet, ja. Hold musa over koden til ukjente symboler, det kan gi hint!

Jada, det finnes slike a og b. La oss si at den finnes et Fibonaccitall [tex]F_n[/tex] slik at [tex]am + b = F_n[/tex]. Dette betyr at [tex]F_n \equiv b \pmod m[/tex]

Vi undersøker nå fibonaccitallene (mod 8). (Vel, aller først undersøker vi dem mod 2, 3, 4, 5, 6 og 7, men dette virker):
Her endte vi opp med to påfølgende Fibonaccitall med samme rester som to påfølgende Fibonaccitall tidligere i rekken. Herifra ser vi at Fibonaccitallene (mod 8) er periodiske med periode 12, siden hvert tall er summen av de to forrige, og hver rest likeså. Ingen av Fibonaccitallene har rest 4 (mod 8), så

[tex]\{ 8x + 4 | x \in \mathbb{Z}\} \cap \{ 1, 2, 3, 5, \ldots \} = \empty[/tex]

Nettopp, bra!

Her er en åpen oppfølgeroppgave som jeg selv ikke har hatt tid til å se på ennå: Kan vi nå klare å klassifisere alle (a,b) slik at [tex]\{ ax + b | x \in \mathbb{Z}\} \cap \{ 1, 2, 3, 5, \ldots \} = \empty[/tex]?