matematikk.net

Hei,
jeg har et lite problem med å forstå forskjellen mellom kvantorene ∀ og ∃.

Har sett at
∀xP(x) [symbol:identisk] P(1)∧P(2)∧P(3)∧....P(n)
og at
∃xP(x) [symbol:identisk] P(1)∨P(2)∨P(3)∨....P(n)

Blir det slik at:
∀x∀y(x^5 = y^5 ⇒ x = y)
er usann fordi x og y kan være to forskjellige tall, og for at det uttrykket skal gå opp må det se slik ut?:

∀x∃y(x^5 = y^5 ⇒ x = y)


Takker for all hjelp

Hei, en stund siden jeg har hatt logikk nå, men prøver meg.

Så vidt jeg kan se er begge utsagn sanne, men de forteller ulike ting.
La oss kalle egenskapen [tex] x^5 = y^6 \rightarrow x = y[/tex] for P(x, y)

Med utsagnet [tex]\forall x \forall y P(x, y) [/tex] sier vi at egenskapen P(x, y) er sann for alle x og y.

Med utsagnet [tex]\forall x \exists y P(x, y) [/tex] derimot, sier vi at denne egenskapen er sann for minst én y.


Det er ikke så lett å se forskjellen, så la oss ta et bedre eksempel, La P(x, y) være [tex] x^0 = y^0 \rightarrow x=y [/tex]

Utsagnet [tex]\forall x \forall y P(x, y)[/tex] stemmer ikke, fordi [tex]x^0 = y^0[/tex] ikke medfører at x=y.

Utsagnet [tex]\forall x \exists y P(x, y)[/tex] stemmer derimot. Fordi hvis [tex]x^0 = y^0[/tex] så finnes det minst ett tall y der x=y.


Håper det hjelper (og at jeg ikke har gjort noen blundere )