matematikk.net

Her er et litt artig matematisk resultat:
La oss si du har et tall x, som kan uttrykkes som brøk på flere ulike måter
[tex]x = \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}[/tex]

Vis at vi også kan skrive [tex]x = \frac{\pm a_1 \pm a_2 \pm ... \pm a_n }{\pm b_1 \pm b_2 \pm ... \pm b_n}[/tex], der a[sub]i[/sub] og b[sub]i[/sub] har samme fortegn.

Eksempel:
[tex]\frac 3 7 = \frac{24}{56} = \frac{18}{42} = \frac{15}{35}[/tex]

Vi ser at
[tex]\frac{24 + 18 + 15}{56 + 42 + 35} = \frac{57}{133} = \frac{3}{7} \\ \frac{24-18+15}{56-42+35}=\frac{21}{49} = \frac{3}{7} \\ \frac{24-18-15}{56-42-35} = \frac{-9}{-21} = \frac{3}{7}[/tex]


Hint:

Prøv å bevise det for n=2, og prøv induksjon.

Vi tester (som hintet sier), om det stemmer for n=2

[tex]x=\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}[/tex]

Dette gir at [tex]a_1=x \cdot b_1[/tex] og [tex]a_2=x \cdot b_2[/tex]. Da følger det at

[tex]x=\frac{\pm a_1 \pm a_2}{\pm b_1 \pm b_2}=\frac{x(\pm b_1 \pm b_2)}{\pm b_1 \pm b_2}=x[/tex].

Vi antar videre at dette resultatet stemmer for n=k, og undersøker om det stemmer for n=k+1.

[tex]x=\frac{\pm a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm ... \pm a_k \pm a_{k+1}}{\pm b_1 \pm b_2 \pm b_3 \pm ... \pm b_k \pm b_{k+1}}=\frac{x(\pm b_1 \pm b_2 \pm b_3 \pm ... \pm b_k) \pm a_{k+1}}{\pm b_1 \pm b_2 \pm b_3 \pm ... \pm b_k) \pm b_{k+1}}=\frac{x(\pm b_1 \pm b_2 \pm b_3 \pm ... \pm b_k) \pm x \cdot b_{k+1}}{\pm b_1 \pm b_2 \pm b_3 \pm ... \pm b_k) \pm b_{k+1}[/tex]

Dette gir at

[tex]\frac{x(\pm b_1 \pm b_2 \pm b_3 \pm ... \pm b_k \pm b_{k+1})}{\pm b_1 \pm b_2 \pm b_3 \pm ... \pm b_k \pm b_{k+1})}=x[/tex].

Det stemmer altså for alle naturlige tall n.

Jeg gjorde beviset slik:

[tex]x[/tex] kan skrives [tex]x = \frac{n}{m}[/tex]. Alle andre brøker som skal være like [tex]x[/tex], må være på formen [tex]\frac{kn}{km}[/tex].

Vi har altså at [tex]\frac{a_1}{b_1} = \frac{k_1n}{k_1m}[/tex], [tex]\frac{a_2}{b_2} = \frac{k_2n}{k_2m}[/tex], og så videre.

Dersom vi summerer sammen tellerne og nevnerne til disse brøkene får vi

[tex]x = \frac{\pm a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm ... \pm a_n}{\pm b_1 \pm b_2 \pm b_3 \pm ... \pm b_n} = \frac{\pm k_1n \pm k_2n \pm k_3n \pm ... \pm k_nn}{\pm k_1m \pm k_2m \pm k_3m \pm ... \pm k_nm} = \frac{n}{m} \cdot \frac{\pm k_1 \pm k_2 \pm k_3 \pm ... \pm k_n}{\pm k_1 \pm k_2 \pm k_3 \pm ... \pm k_n} = \frac{n}{m} \cdot 1 = x[/tex]