matematikk.net

Her er en artig liten nøtt jeg fant på http://mathproblems.info/.

Vi har et kvadrat med hjørnene (1,0), (0, 1), (-1, 0) og (0, -1). I hvert hjørne står henholdsvis hund #1, #2, #3 og #4. Hundene begynner samtidig å gå slik at hund #1 går direkte mot hund #2, hund #2 mot hund #3, hund #3 mot hund #4 og hund #4 mot hund #1.

Finn kurven som beskriver bevegelsen til hund #1.

Det ser ut som en logaritmisk spiral. en spiral der de aldri kommer til senter.

De kommer frem!

Men det vil ikke ta et endelig antall runder.

Korrekt. Men endelig tid og gåavstand. Finner du kurven og evt. tid og lengde på kurven? (trenger ikke finne kurven for å finne de to siste).

Å finne kurven er adskillig vanskeligere enn å finne tid og lengde mener nå jeg. Det tar forresten [tex]\sqrt{2}[/tex] tidsenheter og avstanden er [tex]\sqrt{2}[/tex], hvis vi antar at hundene løper i én enhet i koordinatsystemet per tidsenhet.

Korrekt. Tid og avstand kan man finne ved å skjønne at hver hund hele tiden går rett mot neste hund, mens neste hunds fart er vinkelrett på aktuell hunds fart, så total avstand traversert må være lik den opprinnelige avstanden mellom hundene.

Å finne kurven krever litt kalkulus, men det er enkelt når man først skjønner hvordan man kan angripe problemet!

La hund 1# være i punkt (0,-1), og alle hundene holde en hastighet på én koordinatenhet per tidsenhet.

Etter symmetrien vil alltid hundene forholde seg til hverandre slik at de danner hjørnene i et kvadrat. Tegn en sirkel om kvadratet, og som alltid har hjørnene av kvadratet på periferien. Radiusen ved tiden t kan da beskrives slik: [tex]r(t)=\frac{1}{2}(2-\sqrt{2}t)[/tex], siden fartsvektoren har en hastighet mot sentrum på [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], og radiusen er 1.

Nå siden hjørnene alltid er på sirkelen, vil 1# bevege seg langs en sirkel. Denne sirkelen krymper med en konstant hastighet, og hundene beveger seg i en ukjent hastighet.

Da kan vi beskrive posisjonen slik:

[tex]\vec{r}(t)=[r(t)\cos(h(t)),r(t)\sin(h(t))]=\frac{1}{2}[(2-\sqrt{2}t)\cos(h),(2-\sqrt{2}t)\sin(h)][/tex]

Vi vet noe om [tex]\vec{r}[/tex] i tillegg, det er at [tex]\vec{r}(0)=[0,-1] [/tex] og at [tex]|\vec{r}^\prime(t)|=1[/tex].

[tex]\vec{r}^\prime=-\frac{\sqrt{2}}{2}[(\sqrt{2}-t)\cos(h)+\sqrt{2}h^\prime \sin(h)-th^\prime \sin(h) , \sin(h)-\sqrt{2}h^\prime \cos(h)+th^\prime \cos(h)][/tex]
[tex]|\vec{r}^\prime|=1 \Rightarrow [(\sqrt{2}-t)\cos(h)+\sqrt{2}h^\prime \sin(h)-th^\prime \sin(h)]^2+[\sin(h)-\sqrt{2}h^\prime \cos(h)+th^\prime \cos(h)]^2=2[/tex]

Dette gir etter litt slitsom algebra at [tex](h^\prime)^2=\frac{1}{(t-\sqrt{2})^2} \Rightarrow h^\prime=\frac{1}{\sqrt{2}-t[/tex] (hastigheten øker)

Da har vi at [tex]h=-\ln(\sqrt{2}-t)+C[/tex]

Nå må vi bruke at [tex]\vec{r}(0)=[0,-1] \Rightarrow \cos(h(0))=0 \Rightarrow h(0)=\frac{\pi}{2} \Rightarrow C=\frac{3\pi}{2}+\frac{\ln2}{2}. [/tex] (Vi velger denne verdien med tanke på den neste)
Vi sjekker den andre: [tex]\frac{1}{2}(2-\sqrt{2} \cdot 0) \sin(\frac{3\pi}{2})=-1[/tex].

Da er [tex]C=\frac{3\pi}{2}+\frac{\ln2}{2}-\ln(\sqrt{2}-t)[/tex]

Dermed har vi funksjonen:
[tex]\vec{r}(t)=\frac{1}{2}[(2-\sqrt{2}t)\cos(\frac{3\pi}{2}+\frac{\ln2}{2}-\ln(\sqrt{2}-t)) \ , \ (2-\sqrt{2}t)\sin(\frac{3\pi}{2}+\frac{\ln2}{2}-\ln(\sqrt{2}-t))][/tex]

Vi kan gjøre liknende for de andre hundene ved å bruke annerledes verdier for [tex]\vec{r}(0)[/tex] (de fire forskjellige hjørnene), og få denne grafen:


http://img99.imageshack.us/my.php?image=graftc7.png

Jeg skal her vise at min "antagelse" om at vektorfunksjonen var på den formen er riktig ved å bevise at fartsvektorene til hundene til enhver tid har retning mot hunden ved siden av.

Vi har funksjonene for hundene hvor hunden representert av [tex]\vec{r}_i[/tex] jager hunden [tex]\vec{r}_{i+1}[/tex], for [tex]i=1,2,3[/tex] og [tex]\vec{r}_4[/tex] jager [tex]\vec{r}_1[/tex]:

Vi må vise at [tex]a(\vec{r}_i)^\prime =(\vec{r}_{i+1}-\vec{r}_{i})[/tex] for [tex]i=1,2,3[/tex] og at [tex]a(\vec{r}_4)^\prime =(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{4})[/tex] for en tilfeldig konstant - eller funksjon av t - [tex]a[/tex]

La [tex]\frac{\ln2}{2}-\ln(\sqrt{2}-t)=h[/tex] for å gjøre det enklere å holde oversikten.

[tex]\vec{r}_1(t)=\frac{1}{2}[(2-\sqrt{2}t)\cos(\frac{3\pi}{2}+h) \ , \ (2-\sqrt{2}t)\sin(\frac{3\pi}{2}+h)][/tex]

[tex]\vec{r}_2(t)=\frac{1}{2}[(2-\sqrt{2}t)\cos(h) \ , \ (2-\sqrt{2}t)\sin(h)][/tex]

[tex]\vec{r}_1^\prime(t)=-\frac{\sqrt{2}}{2}[\sin(h)-\cos(h) \ , \ \sin(h)+\cos(h)][/tex]

[tex]\vec{r}_2(t)-\vec{r}_1(t)=\frac{1}{2}(2-\sqrt{2}t)[\cos(h)-\cos(h+\frac{3\pi}{2}) \ , \ \sin(h)-\sin(\frac{3\pi}{2}+h)]=\frac{1}{2}(2-\sqrt{2}t)[\cos(h)-\sin(h) \ , \ \sin(h)+\cos(h)][/tex]

Man kan gjøre liknende for de tre andre tilfellene, i alle tilfeller vil man oppnå det samme, de har lik retning. Dermed er det bevist at posisjonsvektorene er riktige.

Oppgaven er ikke så vanskelig nei, når man vet hvordan den skal løses. Algebraen var kjedelig til tider likevel... Morsom oppgave forresten, og vi alle hva hundene er ute etter.

Hmmm! Det var litt av en løsning! Jeg gjorde den slik: La v være farten til hundene. Geometrisk ser jeg at de alltid vil danne hjørnene i et kvadrat med samme sentrum. Dette sier noe om retningen på hastigheten i forhold til sentrum:

[tex]\frac{dr}{dt} = -\frac{sqrt2}{2}v[/tex]

[tex]\frac{d\theta}{dt} = \frac{sqrt2}{2}v \cdot \frac{1}{r}[/tex]

Finner så en diff.likning for r(theta):

[tex]\frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \frac{dr}{d\theta} \frac{sqrt2}{2}v \cdot \frac{1}{r} = -\frac{sqrt2}{2}v[/tex]

[tex] \frac{dr}{d\theta} = -r[/tex]

[tex] r = Ce^{-\theta}[/tex]

Hvor C = 1 i vårt problem. Hehe. Dette stemmer med fasiten på oppgaven. Gir din enorme parameterfremstilling samme kurve? Hihi. Det er jo en oppgave i seg selv å vise det i så fall!

Løsningen din var adskillig finere ihvertfall.
Men de enorme vektorfunksjonene tilfredsstiller både at de følger etter neste hund, de har samme kurve - bare forflyttet og rotert -, og de har konstant hastighet 1.

Vi får se det positive, du fant et uttrykk for posisjonen ved vinkelen, og jeg fant uttrykket ved tiden.

@ Knuta, sier [tex]r=e^{-\theta}[/tex] noe om det er en logaritmisk spiral?

EDIT: Det ser ut til at kurvene er like når man ser dem i koordinatsystem.

http://img257.imageshack.us/my.php?imag ... hetif0.png

Jeg har grafet både min og din kurve her, og du ser jeg har zoomet ganske godt inn. Det skal ganske mye til for at disse er forskjellige. Eventuelle små avhopp fra hverandre er pga at den grafer vektorfunksjoner grovere.

Heh, stilig.

Oppgave: vis/motbevis at de er beskriver samme kurve!

Vi har at [tex]r=\frac{1}{2}(2-\sqrt{2}t) =1-\frac{\sqrt{2}}{2}t[/tex]

Dessuten er [tex]\theta=\frac{\ln(2)}{2}-\ln(\sqrt{2}-t)=-\ln(\frac{\sqrt{2}-t}{\sqrt{2}})=-\ln(r) \Rightarrow r=e^{-\theta}[/tex]

Vi har bevist at vektorfunksjonen impliserer sammenhengen mellom radiusen og vinkelen theta. Denne likheten er nok til å beskrive hele kurven, ettersom at vi vet lengden til kurven i enhver vinkel. Dette innebærer selvfølgelig at de beskriver samme kurve.