matematikk.net

Her er noen vektoroppgaver til fremtidige og tidligere R1/2MX elever.

Kryssende tangenter

En sirkel ligger i planet med sentrum i origo (Det betyr fint lite hvor sentrum befinner seg. For litt ekstra street cred, la den ha sentrum i punktet [tex]S=(x_s,y_s)[/tex]) Vi tar for oss punktene [tex]T_1=(x_1,y_1)[/tex] og [tex]T_2=x_2,y_2[/tex]. Anta at disse ligger på sirkelperiferien. Finn punktet der tangentene i disse punktene krysser hverandre.

Gi en kort forklaring på fremgangsmåten.

Avstand mellom punkt og linje

Et punkt [tex]P=(x_1,y_1)[/tex] og linja [tex]y=ax+b[/tex] ligger i planet. Utled avstanden mellom punktet og linja. (Hint: Finn to punkter på linja på "hver sin side" av punktet P)

Spiral

En spiral er gitt ved posisjonsvektoren [tex]\vec{p}(t)=[\frac{t}{2\pi}sin(t),\frac{t}{2\pi}cos(t)][/tex]. Finn fartsvektoren [tex]\vec{v}(t)[/tex] og aksellerasjonsvektoren [tex]\vec{a}(t)[/tex] som en funksjon av [tex]t[/tex] og finn lengden på spiralen etter en tid [tex]t[/tex].


Edit:

La til oppgaven "Spiral".

Hehe, tror ikke noe av dette er 2mx hvertfall, på kap.8 nå

Men løselig er det
Tar spiralen jeg.

[tex]\vec{p_{(t)}}=[\frac{t}{2\pi}sin(t),\frac{t}{2\pi}cos(t)][/tex]

[tex]\vec{v_{(t)}}=[\frac{1}{2\pi}sin(t)+\frac{t}{2\pi}cos(t),\frac{1}{2\pi}cos(t)-\frac{t}{2\pi}sin(t)][/tex]

Spiralens lengde er gitt av integralet under ved bruk av fartsvektoren:
[tex]\int_{t_0}^{t_n}p^\prime_{(t)}dt=\int_{t_0}^{t_n}\vec{v_{(t)}}dt[/tex]

[tex]\vec{a_{(t)}}=[\frac{1}{\pi}cos(t)-\frac{t}{2\pi}sin(t),-\frac{1}{\pi}sin(t)-\frac{t}{2\pi}cos(t)][/tex]

Håper dette er rett

Flott arbeid! Alt ser riktig ut.

Yay, takk for oppgaven, utrolig hva man lærer innpå denne siden
Og man føler seg bra som en helt etterpå \flex

Espen180 wrote:Kryssende tangenter

En sirkel ligger i planet med sentrum i origo (Det betyr fint lite hvor sentrum befinner seg. For litt ekstra street cred, la den ha sentrum i punktet [tex]S=(x_s,y_s)[/tex]) Vi tar for oss punktene [tex]T_1=(x_1,y_1)[/tex] og [tex]T_2=x_2,y_2[/tex]. Anta at disse ligger på sirkelperiferien. Finn punktet der tangentene i disse punktene krysser hverandre.

Gi en kort forklaring på fremgangsmåten.

Vi vet at de to punktene ligger på sirkelperiferien, og derfor må de stå ortogonalt på radiusvektoren (hvordan skriver man pilen over vektorer i tex?). Dette kan man bruke til å finne retningsvektoren til de to tangentene ved å bruke at [tex][a,b][-b,a]=0[/tex]. Vi vet i tillegg et punkt på hvert av linjene, og dette er nok til å parametrisere dem. Ender opp med dette:

[tex]t_1:[/tex]

[tex]x=x_1-y_1t[/tex] og [tex]y=y_1+x_1t[/tex]

[tex]t_2[/tex]

[tex]x=x_2-y_2s[/tex] og [tex]y=y_2+x_2s[/tex]

Vi finner at:

[tex]t=\frac{y_2^2-y_1y_2+x_2^2-x_2x_1}{x_1y_2-x_2y_1}[/tex]

Krysningpunktet K blir (oppgitt i separate koordinater for ordens skyld):

[tex]x_K=x_1-y_1 \cdot \frac{y_2^2-y_1y_2+x_2^2-x_2x_1}{x_1y_2-x_2y_1}[/tex]

[tex]y_K=y_1+x_1\frac{y_2^2-y_1y_2+x_2^2-x_2x_1}{x_1y_2-x_2y_1}[/tex]

Edit: Den generelle formelen for en sirkel med sentrum i [tex]x_s,y_s[/tex].

Her trenger man bare å bytte ut "radiusvektoren" (d.v.s. posisjonsvektoren), med vektoren fra sentrum til henholdsvis [tex]T_1[/tex] og [tex]T_2[/tex].

Den generelle formelen vi får er:

[tex]x_K=x_1+(y_s-y_1) \cdot \frac{(y_2-y_s)^2-(y_1-y_s)(y_2-y_s)+(x_2-x_s)^2-(x_2-x_s)(x_1-x_s)}{(x_1-x_s){(y_2-y_s)-(x_2-x_s)(y_1-y_s)}[/tex]

[tex]y_K=y_1+(x_1-x_s) \cdot \frac{(y_2-y_s)^2-(y_1-y_s)(y_2-y_s)+(x_2-x_s)^2-(x_2-x_s)(x_1-x_s)}{(x_1-x_s){(y_2-y_s)-(x_2-x_s)(y_1-y_s)}[/tex]