matematikk.net

Bestem likningen for en rett linje som går gjennom punktet (3, 4) og har avstanden 2 fra punktet (-1, 0).

Tittet på denne oppgaven flere ganger forrige semester og klarte den aldri, men idag løste jeg den endelig . Deres tur til å prøve dere!

Dette burde vel være svar nok? Den har to løsninger.

Infoen man mangler er stigningstallet til linjene. Vet å vite at dette tallet er lik tangens til vinkelen mellom linjen og x-aksen, kan man via trigonometri finne den. Fikk at den ene tangenten sitt stigningstall ble [tex](\sqrt{7} -1)^{2}/6[/tex], den andre orka jeg ikke regne ut, men det er ikke vanskelig.

Den første måten jeg prøvde å løse oppgaven på var en måte jeg syntes var litt morsommere enn trigonometri, men det viste seg å bli mer regning enn jeg hadde ventet. Uansett, den måten gikk ut på at de linjene vi er ute etter kun har ett skjæringspunkt med sirkelen (x+1)^2 + y^2 = 4. Likningen for tangenten med stigningstall a er y = 3 + a(x - 4). Så man kan sette opp et likningssystem, og vil her få at skjæringspunktene er svaret på en 2. gradslikning, og når diskriminanten til denne likningen er null har man kun en løsning, altså vil denne verdien av a gi stigningstallet. Som sagt ble likningene ikke så pene som jeg hadde håpet![/tex]

Heppet wrote:Bestem likningen for en rett linje som går gjennom punktet (3, 4) og har avstanden 2 fra punktet (-1, 0).

Tittet på denne oppgaven flere ganger forrige semester og klarte den aldri, men idag løste jeg den endelig . Deres tur til å prøve dere!

1) Sirkel med radius 2
[tex](x+1)^2 + y^2 = 2^2[/tex]

2) Likningen skal gå gjennom punktet (3, 4)
[tex]y-y_1 = a(x-x_1) \\ \, \\ y = ax -3a +4[/tex]

3) Setter inn i sirkellikningen løser ut og skriver på formen ax+bx+c
[tex](x+1)^2 +(ax-3a+4)^2 = 4[/tex]

[tex]x^2(a^2+1) + x(8a-6a^2+2) + (9a^2+13-24a) =0[/tex]

(Dette lærte Jarle10 meg, så lønner seg å henge her ) Diskriminanten i likningen må være lik 0.

[tex](8a-6a^2+2)^2 -4\cdot (a^2+1)(9a^2+13-24a) = 0 \\ \, \\ -48a^2 + 128a -48 =0 \\ \, \\ a = \frac{4\pm \sqrt{7}}{3}[/tex]

Stapp inn dette i ettpunktsformelen nedenfor, så har du de to linjene:
[tex]y = ax -3a +4[/tex]